Appunti di Meccanica Statistica - INFN

94 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICItappe successive: si sommano prima le fluttuazioni a corta distanza e si studianole proprita’ delle configurazioni così semplificate.Per vedere più in dettaglio come funziona questo metodo, consideriamo unmodello di Ising in d dimensioni definito su un reticolo cubico Λ di passo reticolarea e definiamo la seguente costruzione (detta blocking) che ha appunto loscopo di eliminare le fluttuazioni dell’ordine di pochi passi reticolari. Dividiamoil reticolo in celle o blocchi di lato s (nella figura il reticolo è quadrato e s = 3).Ad ogni cella α ora assegnamo una variabile S α ′ che assume il valore +1 sela maggioranza degli spin all’interno della cella α è positiva, altrimenti il valoreè -1 (abbiamo applicato in questo caso la regola della maggioranza). In questomodo abbiamo costruito una configurazione su un nuovo reticolo cubico Λ ′ dipasso pari a a ′ = s a. E’ del tutto intuitivo il fatto che se la configurazione dipartenza era una tipica configurazione nella fase ordinata, la nuova configurazioneè ancora più ordinata, perche’ si eliminano le fluttuazioni di piccola scala. E’anche vero che se la configurazione di partenza è scelta nella fase simmetrica(cioè disordinata), la nuova configurazione è ancora più disordinata. E’ chiaroinoltre che la trasformazione testé definita ha due punti fissi stabili (cioè attrattivi)a T = 0 e T = ∞. Vediamo ora di definire la trasformazione suddetta in modopiù preciso. A tal fine introduciamo un proiettore P(S α ′ ; S i, i ∈ α) così definito{ ∑P(S α; ′ 1 se S α′ i∈αS i , i ∈ α) =S i > 0(4.6.1)0 altrimentiSi possono costruire altri proiettori di questo tipo; ad es. P può selezionare unparticolare nodo all’interno di una cella ecc. La somma su tutte le configurazionesi può ovviamente spezzare nella somma di tutte quelle compatibili con una data