Appunti di Meccanica Statistica - INFN

92 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICIdel reticolo) sono molto piu’ piccole della lunghezza di correlazione ξ, che èl’unica scala fisica in gioco. Di conseguenza non ci sono direzioni privilegiate:il sistema e’ isotropo ⇒ il correlatore G(⃗r) si puo’scrivere nella forma G(⃗r) =h(r, a). a indica genericamente un set di parametri che definiscono la strutturamicroscopica del sistema. Si suppone che i parametri abbiano le dimensioni dilunghezza (non e’ ovviamente una condizione restrittiva). Poichè G(r 1) è adimen-G(r 2 )sionale, si può scrivere(G(r 1 )G(r 2 ) = φ r1, r )1r 2 aA T = T c φ non puo’ dipendere(dai)parametri microscopici a perche’ non c’èrnessuna scala intrinseca ⇒ φ = φ 1r 2. Ponendo r 1r 2= s , si ha.G(r 1 ) = φ(s)G(r 2 ) , (4.5.4)che si può iterare, ponendo ad esempio G(r 2 ) = φ(t)G(r 3 ) con t = r 2r 3. Combinandoquesta equazione con la (4.5.4) si ottiene l’equazione funzionaleφ(s)φ(t) = φ(s t)Che ha come soluzione generale φ(s) = s −λ che ci permette di riscrivere la (4.5.4)nella formaG(r) = G(1)r λ . (4.5.5)Convenzionalmente si pone λ = d −2+η, dove η denota un nuovo indice critico:l’indice magnetico.Per T ∼ T c , ma T ≠ T c c’è un’unica lunghezza caratteristica che è ξ (è piùgrande di ogni altra scala)⇒G(r) = g(r/ξ) . (4.5.6)rd−2+η Per r ≫ ξ il correlatore decade esponenzialmenteg(r/ξ) → Ae − r ξ .ξ diverge a T c ⇒ξ ∝ |T − T c | −ν , (4.5.7)