Appunti di Meccanica Statistica - INFN

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88 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICI4.5 Approssimazione di campo medioQuesta approssimazione (detta mean field approximation o MFA) consente di descriverequalitativamente il comportamento del modello di Ising ( e di una classemolto ampia di modelli) in prossimità del punto di transizione.Consideriamo un modello di Ising in campo magnetico B in un generico reticoloin D dimensioni caratterizzato da un numero di coordinazione q 3 . L’HamiltonianasaràH = −J ∑ S i S j − ∑ B µ S i〈ij〉 iL’approssimazione di campo medio consiste nel trascurare le fluttuazioni dellamagnetizzazione. Precisamente, ponendo S i = S i − m + m = δ S i + m, dovem è la magnetizzazione media, si trascurano gli effetti di ordine O(δ S 2 i ) nellafluttuazione δ S i . Con questa approssimazione si haH = −J ∑ 〈ij〉(δ S i + m)(δ S j + m) − ∑ iB µ S i ≃ −J q N m22 −−J m ∑ 〈ij〉e quindi(δ S i + δ S j ) − ∑ iBµS i = J q N m22 − (q m J + Bµ) ∑ iS i ,Z ≡ ∑ {S j }e −β H ≃ 2 N m2−β J q Ne 2 [cosh(β q m J + β µ B)] N . (4.5.1)Da questa espressione si vede che la MFA è equivalente a rimpiazzare i diversispin direttamente accoppiati con lo spin di un dato sito i con il valor medio m,dunque questa approssimazione è tanto migliore quanto più grande è il numerodi coordinazione e quindi quanto più grande è la dimensione D dello spazio. Ilvalore della magnetizzazione m è determinato dalla richiesta che l’energia liberadi Helmholtz F = −κT log Z abbia un minimo in condizioni di equilibrio, comesi è dimostrato nella (2.5.1). Richiedendo dunque ∂F = 0 si ha subito∂mm = tanh (β J q m + β µ B)3 Il numero di coordinazione è dato dal numero di link uscenti da ogni nodo del reticolo. Se Nè il numero dei nodi, il numero dei link è L = N q/2. In un reticolo ipercubico in D dimensioniq = 2D.
4.5. APPROSSIMAZIONE DI CAMPO MEDIO 89per semplificare al massimo le notazioni poniamo J = 1, h = µB . Si ottienekTcosıl’equazione di campio mediom = tanh(β q m + h) . (4.5.2)Soluzione grafica: poniamo x = tanh(βq m + h). ⇒ m = x−h e studiamoβql’intercetto delle due curve y = tanhx e y = x−h . Si contemplano 3 casiβq11. caso: h = 0 , > 1 (la tangente nell’origine a tanhx e’= 1) ⇒ una solaβqsoluzione: m = 0 ⇒ fase simmetrica12. caso: h = 0 , < 1 ⇒ tre soluzioni (quella a m = 0 e’ in realta’ instabile)βq⇒ rottura spontanea della simmetria ⇒ fase ordinata13. caso: h > 0 ,simmetria Z 2βq> 1 ⇒ magnetizzazione indotta e rottura esplicita dellaIl valore di β crit previsto dalla approssimazione del campo medio e’ vicino aquello vero solo a grandi valori del numero di dimensioni dd β crit campo medio β crit vero11 = 0.5 ∞212 = 0.25 1log(√ 2 + 1) = 0.4406874 213 = 0.1666 0.2216556= 0.125 0.149668(30)4184.5.1 Studio dell’equazione di campo medio in prossimita’ delpunto criticom = tanh(βqm + h)⇒ βqm + h = arctanh(m) = m + m33 + O(m5 ) .Ponendo h = 0, β c = 1 q , βq > 1 ⇒ β β c= 1 + m23 + O(m4 )⇒ m ≃ √ √3β c (β − β c ) 1 3J2 =β c k( 1T − 1 )1 ( )12 √ Tc 2− T = 3T c T⇒ m ∝ (T c − T) β , β = 1 2 .
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