Appunti di Meccanica Statistica - INFN

88 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICI4.5 Approssimazione di campo medioQuesta approssimazione (detta mean field approximation o MFA) consente di descriverequalitativamente il comportamento del modello di Ising ( e di una classemolto ampia di modelli) in prossimità del punto di transizione.Consideriamo un modello di Ising in campo magnetico B in un generico reticoloin D dimensioni caratterizzato da un numero di coordinazione q 3 . L’HamiltonianasaràH = −J ∑ S i S j − ∑ B µ S i〈ij〉 iL’approssimazione di campo medio consiste nel trascurare le fluttuazioni dellamagnetizzazione. Precisamente, ponendo S i = S i − m + m = δ S i + m, dovem è la magnetizzazione media, si trascurano gli effetti di ordine O(δ S 2 i ) nellafluttuazione δ S i . Con questa approssimazione si haH = −J ∑ 〈ij〉(δ S i + m)(δ S j + m) − ∑ iB µ S i ≃ −J q N m22 −−J m ∑ 〈ij〉e quindi(δ S i + δ S j ) − ∑ iBµS i = J q N m22 − (q m J + Bµ) ∑ iS i ,Z ≡ ∑ {S j }e −β H ≃ 2 N m2−β J q Ne 2 [cosh(β q m J + β µ B)] N . (4.5.1)Da questa espressione si vede che la MFA è equivalente a rimpiazzare i diversispin direttamente accoppiati con lo spin di un dato sito i con il valor medio m,dunque questa approssimazione è tanto migliore quanto più grande è il numerodi coordinazione e quindi quanto più grande è la dimensione D dello spazio. Ilvalore della magnetizzazione m è determinato dalla richiesta che l’energia liberadi Helmholtz F = −κT log Z abbia un minimo in condizioni di equilibrio, comesi è dimostrato nella (2.5.1). Richiedendo dunque ∂F = 0 si ha subito∂mm = tanh (β J q m + β µ B)3 Il numero di coordinazione è dato dal numero di link uscenti da ogni nodo del reticolo. Se Nè il numero dei nodi, il numero dei link è L = N q/2. In un reticolo ipercubico in D dimensioniq = 2D.