Appunti di Meccanica Statistica - INFN

1.1. LA MACCHINA DI CARNOT 71.1.2 Ciclo di Carnot a gas perfettoSupponiamo che il fluido della macchina di Carnot sia un gas perfetto. L’equazionedi stato è p V = nRT (n=numero di moli). Nei gas perfetti U è proporzionalealla temperatura assoluta 3 : U = n cT . E’ facile ora verificare che c coincide colcalore specifico molare a volume costante. Infatti il I principio applicato ad unatrasformazione isocora (∆V = 0), diventa, ponendo n = 1quindi∆U = c∆T = ∆Q ,c = ∆Q∆T = c V .Consideriamo ora una trasformazione isobara (∆p = 0). Dall’equazione distato si ha ∆V = R∆T , quindi il I principio dàp∆Q = ∆U + p∆V = c V ∆T + R∆T = (c V + R)∆Tda cui si evince che il calore specifico a pressione costante è dato da c p =c V + R.Infine, per una trasformazione adiabatica (∆Q = 0) si haossia0 = ∆U + p∆V = c V ∆T + RT ∆VV∆TT = − R ∆Vc V VO, in forma differenziale, dT = − RRdVT c Vda cui integrando si ha TVVc V = cost dacui, utilizzando nuovamente l’equazione di stato, si ottiene la forma delle trasformazioniadiabatiche nel piano p, V :.p V γ = costante , γ = c pc V.Veniamo ora al ciclo di Carnot. Poichè nei gas perfetti l’energia interna è solofunzione della temperatura, lungo un’isoterma, per il I principio, la quantità di3 Questo è un risultato immediato della teoria cinetica dei gas, come verificheremo quandodimostreremo il teorema di equipartizione. Nella termodinamica dei principi il fatto che nei gasperfetti U sia solo funzione di T si ottiene dall’espansione adiabatica senza lavoro esterno di ungas (esperienze di Gay-Lussac e Joule). Se il gas è rarefatto ( dunque ben descritto da un gasperfetto), non avviene nessuna variazione apprezzabile della temperatura.