Appunti di Meccanica Statistica - INFN

4.4. SIMULAZIONI NUMERICHE: METODO MONTE CARLO. 87Carlo t della traiettoria. In sintesi la probabilità di transizione W C→C ′ nell’unitàdi tempo (o passi) è{1 se E(C ′ ) ≤ E(C) ,W C→C ′ =(4.4.1)e −β[E(C′ )−E(C)]se E(C ′ ) > E(C) .Sia p C (t) la probabilità che il sistema si trovi, al tempo t, nella configurazioneCLa “derivata temporale” di questa probabilità è data daṗ C = ∑ C ′ (WC ′ →C p C ′− W C→C ′ p C)dove ∑ Cè la somma su tutte le configurazioni raggiungibili in un passo da′C. Quando la traiettoria raggiunge un regime stazionario si ha ṗ C = 0 per ogniconfigurazione. ⇒W C ′ →C= p CW C→C ′ p C ′D’altra parte sappiamo che nell’ensemble canonico all’equilibrio p C ∝ e −βE(C) ,quindi una traiettoria ergodica che riproduca le configurazioni in equilibrio devesoddisfare il principio del bilancio dettagliatoW C ′ →CW C→C ′= e−βE(C)e .−βE(C′ )Questa è proprio la proprietà soddisfatta dall’eq.(4.4.1) che definisce la traiettoriadi Metropolis.In conclusione, la catena markoviana ora definita genera, in condizioni stazionarie,una successione di configurazioni con probabilità proporzionale al fattore di Boltzmann,come richesto dalle condizioni di equilibrio termico dell’ensemble canonico.Poichè la traiettoria è ergodica, la media temporale coincide con il valormedio nell’ensemble canonico. Per esempio l’energia interna è data daE ≡ ∑ CE(C) e −βE(C)Z= lim∑N→∞n=1,...,NE(C n )NOvviamente nelle simulazioni numeriche N è finito. Più grande è N più la stimadel valor medio è precisa. Si può apprezzare la potenza di questo metodo notandoad esempio che il numero di configurazioni che contribuiscono alla funzione dipartizione del modello di Ising su un reticolo cubico di dimensioni 10 × 10 × 10è 2 1000 > 10 250 , mentre basta una simulazione di N ∼ 10 6 passi di Monte Carloper avere un’ottima approssimazione del modello..