Appunti di Meccanica Statistica - INFN

86 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICIse non è la vera evoluzione temporale del microstato, puo’ andare bene, purchètocchi i vari microstati, o configurazioni, con la frequenza giusta. Su questa sempliceidea si basano i metodi di simulazione numerica detti di Monte Carlo. Essiforniscono una ricetta per costruire una traiettoria ergodica nello spazio delle possibiliconfigurazioni che gode della proprietà, in condizioni stazionarie, di generareconfigurazioni con una frequenza proporzionale al corrispondente fattore diBoltzmann, come richiede l’ensemble canonico in condizioni di equilibrio. Questimetodi sono divenuti di grande importanza in questi ultimi anni con lo sviluppodi calcolatori sempre più potenti. Il più noto di questi metodi è quello detto diMetropolis, dal nome del primo autore di un lavoro del ’53 in cui per la primavolta si descriveva un metodo di simulazione numerica. È adattabile ad ogni sistematermodinamico in equilibrio, ma qui viene applicato al modello di Ising suun reticolo arbitrario. Sia C = {S j } una configurazione arbitraria di Ising e siaS i lo spin assegnato al sito i. C è la configurazione di partenza della traiettoria diMetropolis. Sia C ′ la configurazione ottenuta cambiando segno a S i → −S i . C ′sarà il punto successivo della traiettoria solo se si verifica una delle seguenti duecircostanze• i) l’energia E(C ′ ) della nuova configurazione è minore o uguale a quelladella config. di partenza.• ii) E(C ′ ) > E(C) e inoltre l’estrazione a sorte di un numero reale 0 ≤ x ≤1 (pseudo)casuale a distribuzione piatta dàa un valore x ≤ e −β[E(C′ )−E(C)] .Se non si verificano queste due circostanze si abbandona la nuova configurazionesi riassegna al nodo il segno che aveva in precedenza e si ripete la stessa operazionesu un altro nodo. È chiaro che questa procedura genera una sequenza diconfigurazioni· · · → C n → C n+1 → . . .che costituisce la traiettoria di Metropolis. Questa sequenza non è deterministicaperchè la sua evoluzione dipende dal valore di variabili aleatorie (i numericausali o random). Sequenze di questo genere si chiamano processi stocastici o,piu’ precisamente, markoviani (o catene di Markov) perchè ogni configurazioneè ”determinata” stocasticamente dalla config.precedente. È imporante notare chela traiettoria cosi’ definita è ergodica perchè c’è una probabilità finita che ogniconfigurazione è raggiungibile da ogni altra configurazione in un numero finito dipassi (ogni passo è costituito dalla proposta di cambiamento S i → −S i e dallaverifica delle due circostanze i) e ii)). I passi scandiscono il ”tempo” di Monte