Appunti di Meccanica Statistica - INFN

4.4. SIMULAZIONI NUMERICHE: METODO MONTE CARLO. 85da χ) alla fluttuazione della magnetizzazione ∑ S i = S data dalla varianza di Sdefinita da Var(S) = 〈S 2 〉 − 〈S〉 2 . ⇒ χ > 0 perchè tale è sempre la varianza(〈x 2 〉 − 〈x〉 2 = 〈(x − 〈x〉) 2 〉).Questo ”teorema” permette di avere una prima idea sul comportamento delsistema ferromagnetico ( e di ogni altro sistema ) in prossimita’di T c . Poiche’ χdiverge a T c , la fluttuazione della magnetizzazione, rispetto al suo valor medio,diventa sempre piu’ grande. Partiamo da una temperatura T < T c e magnetizzazionespontanea m > 0. La configurazione tipica è formata da isole (o cluster)di spin −1 immerse in un mare di spin +1. La dimensione media di queste isolepuo’ essere presa come una stima approssimata della lunghezza di correlazione ξdel sistema (utilizzeremo in seguito una definizione migliore di ξ).Avvicinandoci a T c non solo il valor medio delle isole aumenta (ξ → ∞), maaumentano anche le loro fluttuazioni (la varianza della distribuzione di ∑ S i tendea ∞). A T = T c si formano quindi cluster di tutte le taglie ξ di spin +1 e spin −1⇒ non c’e’piu’ nessuna scala finita: il sistema e’ invariante per trasformazioni discala, cioe’ il sistema appare lo stesso a qualsiasi scala sia osservato. Questo e’ ilcomportamento tipico delle strutture frattali: enti geometrici che hanno lo stessoaspetto a tutte le scale.[v.cap.. . . ] Poiche’ a T c non c’e’ nessuna scala naturale nonc’e’ all’interno della teoria nessun parametro naturalmente piccolo su cui fondareuno sviluppo perturbativo (vedremo in seguito uno sviluppo perturbativo di tiponuovo). D’altra parte, poiche’non c’e’ nessuna scala che domina il sistema, tuttii parametri microscopici che lo definiscono (tipo di reticolo, costante di accoppiamento)non possono avere nessun ruolo nella descrizione del comportamentocritico: le proprieta’ critiche dipenderanno solo da proprieta’molto generali, comela dimensionalita’d dello spazio e il tipo e le dimensioni del parametro d’ordinecoinvolto ⇒ universalita’: sistemi molto diversi con le stese proprieta’ di simmetriasono descritti, in prossimita’ di T c dello stesso set di esponenti critici (sidice che appartengono alla stessa classe di universalita’). Es. modelli di Ising suqualunque reticolo 3D, miscele binarie, sistema liquido-vapore al punto critico.4.4 Simulazioni numeriche: Metodo Monte Carlo.Se avessimo modo di seguire l’evoluzione temporale di un microstato di un sistemain equilibrio potremmo utilizzare, per valutare il valore medio di una grandezzafisica, la sua media temporale anzichè la media sull’ensemble di Gibbs. La proprietàfondamentale che assicura l’uguaglianza tra queste due medie è la (quasi)ergodicità della traiettoria. È chiaro che qualunque traiettoria ergodica, anche