Appunti di Meccanica Statistica - INFN

84 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICIG ij = ∑ nC n T n ,T = tanh βdove C n è il numero di cammini di lunghezza n che connettono i a j.Il correlatore G ij si puo’ ottenere a partire da Z introducendo per comodita’un campo magnetico variabile da punto a punto:Z = ∑ e −βH , H = J ∑ 〈ij〉S i S j − µ ∑ kB k S k .Si ha〈S i 〉 = kT µ∂∂B ilog Z ,kTµ∂∂B j〈S i 〉 = kT µ∑∂ Si e −βH∂B j Z=∑ ‘Si S j e −βHZ∑Si e −βH ∑− Sj e −βH =Z 2〈S i S j 〉 − 〈S i 〉〈S j 〉 = G ij⇒ il correlatore rappresenta la risposta dello spin nel sito i alla variazione di Bnel sito j. Quindi log Z è il funzionale generatore delle funzioni di correlazioneconnesse (vale anche per correlatori di più di due spin: per esempio( kTµ) 3∂ 3∂B i ∂B j ∂B klog Z = G ijk = 〈S i S j S k 〉−〈S i 〉G jk −〈S j 〉G ik −〈S k 〉G ij . )C’e’ una relazione importante tra la f. di correlazione e la suscettività χ =∂N〈S ∂B i〉: si ha⇒ χ = µkTχ = N ∑ j= µkT∑ij∑ij∂〈S i 〉 ∂B j∂B j ∂B = NµkTGij = µkT∑G ij =∑[〈S i S j 〉 − 〈S i 〉〈S j 〉]ij[〈S i S j 〉 − 〈S i 〉〈S j 〉] = µkT [〈(∑ S i ) 2 〉 − 〈 ∑ S i 〉 2 ] .Questa relazione e’ nota come teorema di fluttuazione-risposta perche’ mette inrelazione la risposta del sistema a una variazione del campo magnetico (descrittaj