Appunti di Meccanica Statistica - INFN

4.3. MODELLO DI ISING 83di Z per ogni reticolo bidimensionale. C’è qualche analogia tra la relazione didualità sinh 2β sinh 2˜β = 1 e la relazione di Dirac tra carica elettrica e e caricamagnetica g (vedi anche la quantizzazione del flusso magnetico nei superconduttori)ge = nhc come vedremo quando studiermo le proprietà topologiche telcampo elettro-magnetico.4.3.4 CorrelatoriUlteriori informazioni sulla fisica dei fenomeni critici si ottengono studiando lefunzioni di correlazione tra spin in siti diversi. Consideriamo il valore di attesa di〈S i S j 〉, dove i e j sono due siti di un reticolo arbitrario che distano tra loro di r.Nel limite r → ∞ il valore di S i non può influenzare quello nel sito j , ⇒ vale laproprietà di fattorizzazione〈S i S j 〉 → r→∞ 〈S i 〉〈S j 〉.Il correlatore connesso o funzione di correlazione tra spin e’ definito daG ij = 〈S i S j 〉 − 〈S i 〉〈S j 〉 .In un reticolo infinito o con condizioni col contorno periodiche il correlatore e’invariante per traslazione: dipende solo dalla posizione relativa dei siti i e j.Esercizio: calcoliamoci il correlatore G ij nel modello di Ising unidimensionale.In questo caso non c’è magnetizzazione spontanea ⇒ 〈S i 〉 = 0G ij = 〈S i S j 〉 = ∑ S kS i S je β P n SnS n+1Usiamo la nota decomposizione e βSnS n+1= cosh β{1 + S n S n+1 tanh β}. C’èun solo termine che dà un contributo ≠ 0 nella somma sulle configurazioni ∑ {S k } ,infatti S i e S j devono comparire al quadrato per non annullarsi: ∑ S k =±1 S k =∑0 ,S k =±1 S2 k = 2. I fattori 2N e cosh β L si cancellano col denominatore ⇒G ij = (tanh β) |j−i| = e − |j−i|ξ, ξ =Z1log1tanh β> 0 ,dove ξ e’ la lunghezza di correlazione. In d -dimensioni contribuiscono a G ij tuttii cammini che congiungono il sito i al sito j: