Appunti di Meccanica Statistica - INFN

82 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICIUtilizzando questa relazione in combinazione con L = 2N è facile riscrivere laprecedente relazione tra funzioni di partizione nella forma seguenteZ(β) = 1 2 (sinh 2β)N Z(˜β)che costituisce la trasformazione di dualità di Kramers-Wannier 2 .Dalla relazione tra Z(β) e Z(˜β) si ricava, nel limite termodinamico N → ∞,1N log Z(β) = log(sinh 2β) + 1 N log Z(˜β) (4.3.4)Poichè log(sinh 2β) non è singolare per β > 0 ⇒ le singolarità di log Z(β)(punti di transizione) sono mappate 1 ↔ 1 nella singolarità di log Z(˜β) ⇒ se c’èuna sola transizione di fase a β = β c ⇒β c = ˜β cPoichè sinh 2β sinh 2˜β = 1 ⇒ sinh 2β c = 1 ⇒ e 2βc − e −2βc = 2 ⇒ e 4βc −2e 2βc − 1 = 0 ⇒ e 2βc = √ 2 + 1 ⇒ β c = 1 2 log(√ 2 + 1).Riassumendo: i modelli di Ising i ogni dimensione D e per ogni tipo di reticoloammettono sempre uno sviluppo di alta temperatura Z = 2 N cosh β L∑l m l tanh l β e un altro sviluppo a bassa temperatura Z = 2e βL ∑ k n ke −2kβ cheforniscono una descrizione tanto piu’ accurata quanto piu’ β è piccolo (sviluppoad alta temperatura) o quanto piu’ T è piccolo (sviluppo a bassa temperatura). PerD > 2 si conoscono i coefficienti di qualche decina di termini dei due sviluppi,da cui, utilizzando per esempio il criterio del rapporto, si possono ottenere informazioniapprossimate sul raggio di convergenza di questa serie e quindi sullacollocazione e la proprietà delle temperature di transizione. Per D = 2 nel reticoloquadrato la trasformazione di dualità di Kramers e Wannier permette la determinazioneesatta di T c . Inoltre Onsager, nel 1944, è riuscito a trovare la forma esatta2 E’ facile convincersi che la trasformazone di dualità modifica le condizioni al contorno delsistema, quindi per una trattazione completa occorre tener conto di queste. In particolare, prendendoin considerazione condizioni al contorno periodiche P o antiperiodiche A nelle due direzionix e y, la forma esatta di trasformazione di dualità è la seguente: Z PP (β) + Z AP (β) +Z PA (β) + Z AA (β) = 2(sinh 2β) N Z PP (˜β). Se β è piccolo (alta temperatura) e la taglia del reticoloè grande (limite termodinamico), la funzione di partizione non dipende dalle condizioni alcontorno (Z PP = Z AP = . . . ) e la trasformazione viene a coincidere con quella incorniciata neltesto.