Appunti di Meccanica Statistica - INFN

4.3. MODELLO DI ISING 81+ + + ++ + + +−−−−++−−−−−−+ ++ +−−−−+ ++ ++ ++ +Figure 4.3: Trasformazione che assegna ad ogni configurazione dello sviluppo adalta temperatura due distinte configurazioni a bassa temperaturacioè la molteplicità delle configurazioni di alta temperatura con perimetro totale lè uguale a quella della corrispondente configurazione di spin (a bassa temperatura)del reticolo duale.Possiamo allora reintepretare lo sviluppo ad alta temperatura di ZZ(β) = 2 N (cosh β) L ∑ l=0m l (tanh β) lcome uno sviluppo a bassa temperatura del reticolo duale.Introduciamo la β duale= ˜β ponendotanh β = e −2˜β⇒ ˜β = − 1 log tanh β2Si ha( ) { L cosh β= 2 N−1e˜βZ(β) = 2 N (cosh β) L ∑ l=0m l e −2˜β l =2e˜βL ∑ l=0} ( ) Lm l e −2˜β l cosh β= 2 N−1 Z(˜β) =È importante osservare che a β piccolo corrisponde a ˜β grande e viceversa.Inoltre ˜β = β, infattie −2˜β = tanh ˜β e˜β − e −˜β 1 − e−2˜β1 − tanhβ= = =e˜β+ e−˜β 1 + e−2˜β 1 + tanh βQuindi la trasformazione β → ˜β è involutiva. Altra formula utile è:sinh 2β sinh 2˜β = 1 .e˜β=cosh β − sinh βcosh β + sinh β = e−2β