Appunti di Meccanica Statistica - INFN

80 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICIlibera, l’energia interna,ecc. Il raggio di convergenza è dato dalla posizione dellasingolarità nel piano complesso β piu’ vicino a β = 0. (Si puo’ dimostrare chela singolarità dell’energia libera sono gli zeri della Z, gli zeri piu’ vicini all’assereale determinano la posizione delle transizioni di fase).Si puo’ definire un altro tipo di sviluppo, valido a bassa temperatura, nelseguente modo. In una data configurazione di un reticolo arbitrario con N nodi eL links (L = qN ) sia k il numero di link con spin antiparalleli (S 2 iS j = −1) ⇒ ilnumero di quelli paralleli è L − k, ⇒∑S i S j = (L − k) − k = L − 2k〈i,j〉⇒ il peso di Boltzmann di questa configurazione è e βL−2βk .Sia n k il numero di configurazioni distinte con k coppie di spin antiparalleli.La Z(β) si potrà scrivere nella formaZ(β) = 2e βL ∑ kn k e −2βkdove il fattore 2 è il contributo dovuto all’inversione di tutti gli spin (ogni configurazionesi trasforma in un’altra con lo stesso k se ∀ i S i → −S i ). Il parametrodi sviluppo questa volta è e −2β ed è quindi uno sviluppo valido attorno a T = 0(sviluppo a basse temperature); è facile verificare che nel reticolo quadrato n 0 =1, n 1 = n 2 = n 3 = 0, n 4 = N, . . . .4.3.3 Trasformazione di dualitàStudiamo ora piu’ da vicino il caso del reticolo quadrato. Consideriamo un terminegenerico dello sviluppo ad alta temperatura. Dal punto di vista grafico èuna collezione di poligoni: Costruiamo ora il reticolo duale, ottenuto ponendoi nodi nei centri dei quadrati elementari. Il nuovo reticolo è ancora un reticoloquadrato ma spostato di 1 nelle direzioni x e y. Ora assegnamo il segno + ai siti2del reticolo duale interni ai poligoni e il segno - a quelli esterni o viceversa. Diconseguenza i link con spin antiparalleli nel reticolo duale intersecano tutti i linkche compongono i poligoni del reticolo diretto.In questo modo è stabilita una corrispondenza 1 a 2 tra le configurazioni dipoligoni del reticolo diretto e la configurazione di spin nel reticolo duale, percio’m l = n l