Appunti di Meccanica Statistica - INFN

4.3. MODELLO DI ISING 79S n−1 S n S n+1 S n+2 ↔ T 2 S n S n+2 • Insiemi di link connessi con estremi liberi danno un contributo nullo alla Z:nell’esempio precedente∑S n,S n+2T 2 S n S n+2 = T 2 (+1 − 1)(+1 − 1) = 0• Più generalmente, ogni nodo da cui escono un numero dispari di link attividetermina il contributo nullo del sottografo a cui appartiene, in quanto∑S i =∓1 S2n+1 i = ∑ S iS i = 0• Ogni somma sulle variabili di sito che non appartiene agli estremi di ungrafo o, più precisamente, ogni nodo da cui escono un numero pari di linkattivi contribuisce a Z con un fattore 2: ∑ S i =±1 1 = 2.In D = 1 i grafi di link attivi connessi hanno degli estremi liberi, quindi noncontribuiscono a Z ⇒ Z = 2 N coshβ N−1 .Per ogni D > 1 si ha∑Z = 2 N cosh β qN 2 m l T l ,dove m l è il numero di poligoni chiusi di lunghezza l, senza sovrapposizione, chesi possono tracciare sul reticolo. q= numero di coordinazione del reticolo. Peri reticoli bidimensionali si ha q = 4 nel reticolo quadrato, q = 3 nel reticoloesagonale e q = 6 nel reticolo triangolare. Il reticolo cubico ha q = 6. Il reticoloipercubico in D dimensioni ha q = 2D.Z = 2 N (cosh β) qN 2l∞∑m l T lm l =numero di poligoni di lunghezza l nel reticolo quadrato si ham 0 = 1 m 1 = m 2 = m 3 = 0 , m 4 = N (numero dei quadrati), m 5 = 0 , m 6 = 2N, ...Il parametro di sviluppo T = tanh β è piccolo per β piccolo. Quindi è unosviluppo ad alta temperatura, da cui si possono estrarre gli sviluppi per l’energial=0