Appunti di Meccanica Statistica - INFN

78 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICI1 TTT2 2 2 3T T T TFigure 4.2: Decomposizione del modello di Ising su un triangolo nei sottografidei link attivi che contribuiscono a Z ∆ .4.3.2 Sviluppi ad alta e bassa temperaturaCalcoliamoci ora la f. di partizione con un altro metodo che è applicabile inogni dimensione. Possiamo definire il modello di Ising su un grafo qualunque G,definito univocamente dai suoi N nodi i (i = 1, 2 . . ., N), a cui sono associate levariabili S i = ±1, e dai suoi L link 〈i j〉, che connettono tra loro coppie di nodi,detti nodi contigui. Ad ogni link 〈i j〉 è associato il fattore di Boltzmann e βS iS j.È immediato verificare la seguente identità:e βS iS j= cosh β + S i S j sinh β = cosh β(1 + S i S j tanhβ)⇒ Z G = cosh β L ∑ {S i }∏(1 + S i S j T) , T = tanh β〈ij〉⇒ il contributo di ogni link è o 1 (che diremo link ”vuoto” e lo indicheremocon • · · · •) o S i S j T (link ”attivo” indicato con •–•). Ogni grafo G si può decomporrein una somma di soottografi formati da link vuoti o attivi. Per esempio, seG è un triangolo, la decomposizione è quella rappresentata in figura 4.2. Valgonoovviamente le seguenti regole• Se su un nodo i incidono un numero pari 2n di link attivi (con n = 0, 1, . . . )il peso con cui il nodo contribuisce a Z è Si2n = 1 ed è quindi indipendentedal valore del suo spin. Per esempio, in un reticolo unidimensionale si puo’avere il grafo