Appunti di Meccanica Statistica - INFN

4.3. MODELLO DI ISING 77dove si è postoT Sn S n+1≡ e βSnS n+1+ h 2 Sn+ h 2 S n+1.In questa forma la funzione di partizione ha la stessa struttura formale di unprodotto riga per colonna di matrici 2×2. Ci sono tante matrici T quanti links. Sefacciamo corrispondere al valore S = +1 l’indice 1 e al valore S = −1 l’indice 2si può allora definire la matrice di trasferimento ( o transfer matrix) T :( ) eβ+heT =−βe −β e β−h(4.3.2)Nel caso particolare di condizioni al contorno periodiche (cioè S i+N = S i ) si haZ = Tr T N ,e formule analoghe per altre condizioni al contorno. Per valutare esattamente Zbasta evidentemente calcolarsi i due autovalori di questa matrice, che sono gli zeridell’equazione algebrica di secondo grado det(T − λ). Si haλ i = e β cosh h ±√e 2β cosh 2 h − 2 sinh 2β , (i = 1, 2) (4.3.3)e quindiZ(β, h) = λ N 1 + λN 2 = λN 1(1 +(λ2λ 1) N).Poichè λ 1 > λ 2 , possiamo scriverelog Z = N log λ 1 + log(1 + ( λ ( ) N2) N λ2) ≃ N log λ 1 + ,λ 1 λ 1da cui discende che l’energia libera è un grandezza estensiva nel limite termodinamicoe che ci sono delle correzioni esponenzialmente decrescenti di volumefinito che dipendono dal rapporto degli autovalori di T .Il formalismo della matrice di trasferimento si può estendere a modelli su reticolodi ogni dimensione, ma in generale non si riescono a calcolare gli autovaloriin modo esatto.