Appunti di Meccanica Statistica - INFN

76 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICI4.3.1 Modello di Ising unidimensionaleZ =∑{S n=±1}e β P n SnS n+1S n−1 S n S n+1 Ovviamente le variabili di link µ n = S n S n+1 assumono i valori ±1. Nelcaso unidimensionale (D = 1) le variabili di link individuano completamenteogni configurazione nel senso che, fissato il valore dello spin iniziale S 1 , ogniarbitraria sequenza di segni attribuiti alle variabili di link fissa biunivocamenteuna configurazione di spin (questo non è piu’ vero in D > 1, perchè le variabilidi link soddisfano dei vincoli: il prodotto delle variabili di link in ogni camminochiuso vale +1). Percio’ possiamo sostituire alla somma sulle configurazioni deisiti quella sui link:∑Z = e β P ∑n SnS n+1= e β P n µn{S 1 ,S 2 ,...S N }d’altra parte ∑ µ=±1 eβµ = e β + e −β = 2 cosh β ⇒{S 1 ,µ 1 ,µ 2 ...µ N−1 }Poichè Z = e −βFZ = 2 N (cosh β) N−1 .⇒ F = F , nel limite termodinamico (N → ∞) si haV NFV→ −kT log[2 cosh(β)]Non ci sono singolarità nell’energia libera per T > 0 ⇒ nessuna transizione difase.Questo modello è risolubile esattamente anche in presenza di un campo magnetico.La funzione di partizione è∑Z(β, h) =e P n (βSnS n+1+ h 2 Sn+ h 2 Sn+1) ={S 1 ,S 2 ,...S N }e P n (βSnS n+1+h S n) = ∑ {S i }=∑{...S n−1 S n S n+1 ... }. . . T Sn−1 S nT Sn S n+1. . . .