Appunti di Meccanica Statistica - INFN

4.3. MODELLO DI ISING 75dove per semplicità si è posto β = J . L’Hamiltoniana è invariante se si cambianokTsimultaneamente di segno tutte le variabili di sitoS i → −S i ∀i ⇒ H → HQuesta è la simmetria Z 2 del modello. Per dimensioni d > 1 al di sotto di un T c siha la rottura spontanea di questa simmetria e il parametro d’ordine è la magnetizzazionespontaneaM = 〈S i 〉 =∑{S k =±1}S ie β P 〈jl〉 S jS lZTeorema: in ogni modello di Ising finito (cioè formato da un numero finito disiti) non ci puo’ essere una rottura spontanea della simmetria Z 2 . Infatti, poichè sisomma su tutte le variabili dinamiche, sommare su S j ∀j è lo stesso che sommaresu −S j ∀j ⇒M = 〈S i 〉 =∑{S k =±1}P (−S i ) eβ 〈jl〉 (−S j)(−S l )Z= − ∑{S k =±1}S ie β P 〈jl〉 S jS lZ= −Mcvd.Queste manipolazioni sono sicuramente valide se ci sono nella somma un numerofinito di termini. Se viceversa il numero di termini N è infinito (limite termodinamicoN → ∞) il sistema va corredato da opportune condizioni al contornoe occorre definire correttamente il limite N → ∞. Cio’ puo’ invalidare il ragionamentoprecedente. Questo è un fenomeno generale: una transizione da una fasesimmetrica a una fase ordinata puo’ avvenire solo nel limite termodinamico (cioènel sistema infinito) perchè comporta un punto di non-analiticità della f. di partizione.Siccome i singoli addendi della f. di partizione sono funzione analitichedi β, tale è anche la loro somma, a meno che non ci siano infiniti addendi.