Appunti di Meccanica Statistica - INFN

74 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICIquesta simmetria, cioè non va in se stesso per questa permutazione ciclica. Duecammini simmetrici sono oppure di lunghezza 4l e 2 √ 2l . Ovviamente non cisono cammini a simmetria Z 4 piu’ brevi. Vediamo ora che si puo’ deformare ilcammino in modo da ottenere un cammino piu’ breve. Poniamo f(x) = lunghezzadel cammino in funzione di x (v.fig. (4.1)). Si haf(x) = x + 4Sviluppiamo attorno a x = 0 :√l24+(l − x)24f(x) = x + 2 √ 2l(1 − x 2l ) + O(x2 ) = 2 √ 2l − ( √ 2 − 1)x + O(x 2 ) .Quindi il cammino meno simmetrico (x > 0) è piu’ corto di quello simmetrico(x = 0). Il problema ha due soluzioni degeneri con simmetria Z 2 ×Z 2 (v. Fig. (3)e (4)). (la soluzione minima si ha per f ′ (x o ) = 0, ⇒ x o = l − √ l3⇒ f(x o ) =l(1 + √ 3)).Analogamente, quando si ha rottura spontanea della simmetria lo stato fondamentaleè degenere ed è un multipletto del gruppo G ′ di stabilità.4.3 Modello di IsingIl prototipo di sistema ferromagnetico è il modello di Ising. È un modello chenasce da drastiche semplificazioni rispetto al sistema fisico reale. Il modello èdefinito su un reticolo regolare (ad es. cubico); ad ogni nodo è assegnata unavariabile dinamica S = ±1 (anzichè il vettore di spin o di momento magnetico)L’ Hamiltoniana del sistema dipende solo dall’interazione dei nodi contigui;ogni coppia di nodi contigui definisce un link (o legame) S i S j L’ Hamiltoniana èla somma dei contributi dei singoli linksH = −J ∑ linksS i S j = −J ∑ 〈ij〉S i S j . (4.3.1)Se J > 0, il segno meno favorisce l’accoppiamento ferromagnetico (spin paralleli,ossia S i = S j ⇒ minore energia). Una configurazione è determinata dai segniattribuiti a tutti i nodi del reticolo.Funzione di partizione del modello di Ising:Z = ∑config.e −HkT =∑{S k =±1}e JkTP〈i,j〉 S iS j= ∑{S k =±1}e β P 〈i,j〉 S iS j