Appunti di Meccanica Statistica - INFN

4.2. ROTTURA SPONTANEA DI SIMMETRIA 73A B A BlD(1)CD(2)CABABxDCD(3) (4)CFigure 4.1: A,B,C,D sono i quattro vertici di un quadrato. Il problema consistenel trovare il cammino di lunghezza minima che li colleghi tutti. le figure (1) e (2)rappresentano possibili soluzioni con simmetria Z 4 . Le figure (3) e (4) rappresentanosoluzioni con simmetria Z 2 × Z 2dicendo che appartengono alla stessa classe di universalità. Per quanto si è dettola classe di universalità determina univocamente gli esponenti critici.In genere, quando le leggi che governano un fenomeno sono simmetricherispetto a un gruppo di trasformazioni ci si aspetta che lo stato fondamentale godadella stessa simmetria, ma non sempre questo accade.Esempio: problema geometrico con rottura spontanea della simmetria: costruireil cammino piu’ breve che connette tra loro i quattro vertici di un quadrato, uncammino cioè che permetta di raggiungere da ogni vertice gli altri tre vertici.Il problema ha una simmetria Z 4 ,cioè è invariante per la permutazione ciclicaA → B → C → D → A 1 . Dimostriamo che il cammino piu’ breve non ha1 Il sistema è anche invatiante per una simmetria Z 2 per riflessione rispetto al centro delquadrato, che cambia l’ordine ciclico ABCD in anticiclico DCBA, ma questa simmetria nonviene rotta in questo esempio.