Appunti di Meccanica Statistica - INFN

72 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICIdella temperatura di Curie. In assenza di un campo magnetico esterno ⃗ B, il sistemaè invariante per rotazioni (non ci sono direzioni privilegiate). Al di sottodi un valore critico T c della temperatura si manifesta una magnetizzazione spontanea:nonostante il sistema sia descritto da leggi invarianti per rotazione essosi pone in uno stato in cui esiste una direzione privilegiata (la direzione dellamagnetizzazione spontanea). Il sistema è invariante solo piu’ per rotazioni attornoa questa direzione privilegiata: la simmetria del sistema è passata da O(3)a O(2). Questa variazione di simmetria è detta rottura spontanea di simmetria.Il parametro d’ordine di questa transizione è la magnetizzazione spontanea 〈 ⃗ M〉.Nella fase ordinata 〈 ⃗ M〉 ≠ 0 mentre nella fase simmetrica 〈 ⃗ M〉 = 0.In generale in una transizione del II ordine a T = T c si parla di rottura spontaneadella simmetria se:• L’Hamiltoniana del sistema è invariante rispetto a un gruppo G (gruppo disimmetria)• Lo stato del sistema a T > T c è simmetrico rispetto alle trasformazioniindotte da G (fase simmetrica)• A T < T c il sistema ha un gruppo di simmetria inferiore G ′ordinata)⊂ G (faseIl gruppo di simmetria della fase ordinata G ′ è detto gruppo di stabilità. Il parametrod’ordine P è per definizione un’osservabile che non è invariante sotto l’azione diG e che gode della proprietà 〈P 〉 = 0 nella fase simmetrica e 〈P 〉 ≠ 0 nella faseordinata.In prossimità del punto critico le grandezze fisiche che caratterizzano le proprietàmacroscopiche del sistema obbediscono a delle leggi di potenza in funzionedella temperatura ridotta t = (T −T c )/Tc o del campo magnetico B. Per esempiola magnetizzazione spontanea m nella fase fredda si annulla a T c secondo la leggem ∝ (−t) β ; analogamente la suscettività magnetica χ = ∂ m e il calore specifico∂ BC V divergono a T c nel seguente modo χ ∝ |t| −γ , C V ∝ |t| −α . Gli esponentiα, β, γ . . . sono detti esponenti o indici critici e caratterizzano il comportamentocritico. Questi esponenti critici non dipendono dai dettagli microscopici del sistemama da poche caratteristiche generali, quali la natura del gruppo di simmetriache viene spontaneamente rotto e dalla dimensionalità D dello spazio. Questoimplica che sistemi diversissimi tra loro, ma con lo stessa simmetria e la stessadimensionalità hanno lo stesso comportamento critico. Si esprime questo fatto