Appunti di Meccanica Statistica - INFN

66 CHAPTER 3. MECCANICA STATISTICA DEL NON EQUILIBRIOConsideriamo una particella browniana di massa M soggetta al bombardamentodelle molecole del fluido in cui e’ immersa. L’equazione del moto M dv = dt⃗F(t) puo’ essere scritta, secondo Langevin, nella forma seguenteM d⃗vdt = − ⃗v B + ⃗ F(t) {equazione di Langevin}dove − ⃗v rappresenta la forza di attrito dovuta alla viscosita’ del fluido (B e’ laBmobilita’ della particella), mentre F(t) ⃗ e’ una forza rapidamente variabile che descrivela forza istantanea generata dall’urto delle molecole, la cui media per grandiintervalli temporali e’ zero. La media sull’”ensemble” statistico delle particellebrowniane implica allora 〈F(t)〉 = 0, percio’M d dt 〈⃗v〉 = − 1 B 〈⃗v〉⇒ 〈⃗v(t)〉 = ⃗v(0) exp(− t τ ) ,dove τ = BM e’ il tempo di rilassamento. Per t ≫ τ la velocita’ iniziale,per effetto della viscosita’, si riduce in media a 0. Moltiplichiamo ora l’eq. diLangevin scalarmente per il raggio vettore ⃗r(t) che descrive la posizione dellaparticella browniana all’istante t, con la condizione iniziale ⃗r(0) = 0. Tenutoconto che ⃗r · ⃗v = 1 dr 2e che ⃗r · d⃗v = 1 d 2 r 2− v 2 e 〈⃗r · ⃗F(t)〉 = 0 (per il fatto che2 dt dt 2 dt⃗F 2 e’ una variabile aleatoria a media 〈F(t)〉 = 0) si hacioe’⃗r · d⃗vdt= −⃗r· ⃗vτ1 d 2 r 22 dt − 2 v2 = − 12τ⇓d 2+⃗r · ⃗F(t)Mdr 2dt + r · ⃗FMdt 2 〈r2 〉 + 1 dτ dt 〈r2 〉 = 2〈v 2 〉Se il sistema ha raggiunto l’equilibrio termico, possiamo applicare il teorema diequipartizione dell’energia 2 : 〈v 2 〉 = 3κT e l’equazione precedente diventa unaM2 È da notare che la forza aleatoria ⃗ F è scomparsa subito dal gioco facendo la mediasull’ensemble, ma la sua presenza è fondamentale per poter assumere che il sistema è in equilibrioalla temperatura T nel fluido in cui è immersa la particella browniana