Appunti di Meccanica Statistica - INFN

3.1. MOTO BROWNIANO 65altro (es. fumo nell’aria, acqua salata in acqua dolce ecc.) e allora p(t,⃗x) e’ laconcentrazione di un fluido nell’altro e D e’ il coefficiente di diffusione. Quindiil fenomeno della diffusione e’ ben descritto dal modello di random walk. Pertrovare la soluzione generale dell’equazione di propagazione del calore, convienepassare alla trasformata di Fourier delle coordinate ⃗x:∫˜p(t, ⃗ 1k) = dx d e −i⃗k·⃗x p(t,⃗x) ,(2π) d/2Cosicchè l’equazione diventa semplicemente∂˜p(t, ⃗ k)∂t= −k 2 D˜p(t, ⃗ k) ,da cui ˜p(t, ⃗ k) = ˜p(0, ⃗ k)e −Dk2t . E’ noto che l’antitrasformata del prodotto di duetrasformate di Fourier è data dalla convoluzione delle due antitrasformate, da cuisi ha subito la soluzione generale nella formap(t,⃗x) =1√(4Dπt)d∫dy d p(0,⃗y)e −(x−y)2 4DtScegliendo come al solito le condizioni iniziali in cui all’istante iniziale tuttoil ”fluido” descritto da p(t,⃗x) è tutto concentrato nell’origine, cioè p(0,⃗x) =δ (d) (⃗x), si ottiene la soluzione dell’equazione (3.1.6) a simmetria sfericap(t,⃗x) =1 x24Dt(4πDt)d/2e−E’ immediato verificare che ∫ p(t,⃗x)d d x = 1 e che∫〈r 2 〉 ≡∫r 2 p(t,⃗x)d d x ≡d∑x 2 i p(t,⃗x) d d x = 2d D t (3.1.7)i=1analogamente a quanto visto nell’esempio unidimensionale.3.1.1 Teoria di Langevin del moto brownianoLa teoria del random walk ha il difetto di non essere direttamente derivata dalleleggi della meccanica. Vediamo ora di trovare una base dinamica per tale teoria.