Appunti di Meccanica Statistica - INFN

64 CHAPTER 3. MECCANICA STATISTICA DEL NON EQUILIBRIO2d nodi contigui, di coordinate ⃗x + ⃗µ i , (i = 1, . . .2d). Si puo’ allora scrivere larelazione di ricorrenza seguenteK n (⃗x) =2d∑i=1K n−1 (⃗x + ⃗µ i ) . (3.1.4)Poichè il numero totale di cammini lunghi n passi è (2d) n si ha che la probabilita’che un cammino random partendo dall’origine raggiunga in n passi il punto ⃗x edata da p n (⃗x) = K n (⃗x)/(2d) n . E’ facile verificare che essa soddisfa la seguenterelazione di ricorrenza:p n (⃗x) = 12d∑2di=1p n−1 (⃗x + ⃗µ i ) (3.1.5)Partendo dalla condizione iniziale p o (⃗0) = 1 si puo’ calcolare (in linea di principio)iterativamente ogni p n (⃗x). 1Cerchiamo di trasformare la (3.1.5) in un’ equazione differenziale nel limitecontinuo (cioe’ passo reticolare a → 0 e intervallo di tempo τ → 0), utilizzandole relazioniep n (⃗x) − p n−1 (⃗x)limτ→0 τ= ∂p(t,⃗x)∂t∑ 2di=1limp n(⃗x + ⃗µ i ) − 2d p n (⃗x)a→0 a 2dove △ denota il laplaciano. Si ha(p n (⃗x) − p n−1 (⃗x))τ= a22dτ∂p(t,⃗x)∂t= ∆p(t,⃗x)∑ 2di=1 p n−1(⃗x + ⃗µ i ) − 2d p n−1 (⃗x)a 2⇓= D∆p(t,⃗x) (3.1.6)dove si e’ posto D = a22dτ , t = nτ e, con un abuso di notazione, p(t,⃗x) = p n(⃗x).La (3.1.6) e’ una ben nota equazione differenziale usata in fisica per descriverela propagazione del calore (in questo caso p(t,⃗x) e’ la temperatura nel punto ⃗xall’istante t) o la diffusione di una sospensione o di un fluido miscibile in un1 Problema per il lettore: verificare che l’equazione (3.1.2) soddisfa questa eq. di ricorrenza etrovare la soluzione esplicita nel caso del reticolo quadrato.