Appunti di Meccanica Statistica - INFN

3.1. MOTO BROWNIANO 63Non è difficile calcolarsi esplicitamente queste quantità, ma è molto più sempliceutilizzare una strategia differente: Consideriamo un “ensemble” di un numero Nmolto grande di cammini casuali generati tutti dal processo Markoviano descrittodall’eq.(3.1.1) e calcoliamo la media su quest’ensemble. Si ha〈x n 〉 = 〈x n−1 〉 + 〈S〉 = 〈x n−1 〉 ,quindi il valor medio di x non dipende dal numero di passi n, e poichè la condizioneiniziale è x o = 0, si ha 〈x n 〉 = 0 ∀n. Analogamente per lo scartoquadratico si ha〈x 2 n 〉 = 〈x2 n−1 〉 + 1 + 2〈S x n−1〉 = 〈x 2 n−1 〉 + 1 ,e risolvendo questa semplice equazione di ricorrenza otteniamo〈x 2 〉 = n (3.1.3)Cioe’ la distanza quadratica media dall’origine d = √ 〈x 2 〉 cresce con la radicequadrata del tempo intercorso. Questa e’ una proprieta’ generale dei random walkin ogni dimensione spaziale ed e’ ben verificata sperimentalmente dal moto browniano.Un utile esercizio per il lettore e’ verificare che nel caso bidimensionale ilprocesso marcoviano che genera i cammini casuali su un reticolo quadrato è datoda ( ) ( ) ( 1) ( 1)xn xn−1= + S 2y n y 1 1 + S 2 2n−1 − 1 ,22dove S 1 e S 2 sono due variabili aleatorie (e quindi indipendenti tra loro) che possonoassumere i valori ±1 e hanno media zero: 〈S 1 〉 = 〈S 2 〉 = 0. Da questaequazione si può verificare imediatamente che vale ancora la (3.1.3).Consideriamo ora un reticolo cubico in un numero arbitrario di dimensioni. Seun cammino random raggiunge all’istante t i il nodo ⃗x(t i ), all’istante successivosi potra’ trovare, con uguale probabilita’ nei 2d nodi contigui. Per esempio in 2dimensioni ogni nodo ha 4 nodi contigui:Sia K n (⃗x) il numero di cammini che in n passipartendo dall’origine raggiungonoil punto ⃗x. Ognuno di questi cammini dopo n − 1 passi si trovava in uno dei