Appunti di Meccanica Statistica - INFN

62 CHAPTER 3. MECCANICA STATISTICA DEL NON EQUILIBRIOdiffusione e viscosita’ e il meccanismo della fluttuazione molecolare.Come drastica idealizzazione del moto browniano, consideriamo un caso unidimensionale,in cui la particella si muove sui nodi di un reticolo cristallino dipasso a, e quindi la coordinata x(t) in unita’ reticolari e’ un numero intero. Supponiamoinoltre che all’istante iniziale la particella si trovi nell’origine x(0) = 0e che, se all’istante t i si trova nel sito di coordinata x i , all’istante successivo t i +τpossa saltare con eguale probabilita’ o nel punto x i + 1 o nel punto x i − 1. Lasequenza di numeri interi positivi o negativix o , x 1 , x 2 . . .descrive un random walk unidimensionale. Questo processo stocastico si diceMarkoviano perche’ la posizione x i all’istante t i non dipende da tutta la storiaprecedente, ma solo dalla posizione all’istante t i−1 . Introduciamo ora una variabilealeatoria S = ±1 ( che si può realizzare ad esempio con il lancio di unamoneta: “testa”↔ +1 “croce”↔ −1) che caratterizza ad ogni passo lo spostamentoa destra o a sinistra. La proprietà fondamentale di una variabile aleatoria èche il valore che assume ad ogni passo (ad ogni lancio della moneta) non è predittibilee il valor medio su un numero infinito di passi è ovviamente 〈S〉 = 0. Utilizzandoquesta variabile il processo Markoviano si puo’ scrivere esplicitamentenella formax n = x n−1 + S . (3.1.1)Il random walk dopo n passi si sara’ spostato n + volte in direzione positiva e n − =n − n + volte in posizione negativa, per cui occupera’ il nodo di coordinate x =n + −n − . Il numero di cammini distinti che in n passi raggiungono dall’origine laposizione x e’ ovviamente( )n!n + !n − ! = n! nn+x2 !n−x!= n+x2 2Poiche’ il numero totale di cammini lunghi n passi e’ 2 n , la probabilita’ che laparticella si trovi all’istante n in posizione x e’ data dap n (x) = 1 ( )n2 n n+x(3.1.2)2Nota la probabilita’, possiamo definire nella maniera usuale i valori medi; in particolaren∑n∑〈x〉 ≡ xp n (x) , 〈x 2 〉 ≡ x 2 p n (x) .x=−nx=−n