Appunti di Meccanica Statistica - INFN

60 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBSInserendo la (2.6.6) otteniamo, nella stessa approssimazione,(EN = 3 ( ) )( 2 ( ) ) (25 ǫ F 1 − π2 κT1 + π2 κT= 3 12 ǫ F 2 ǫ F 5 ǫ F 1 + 5π212( κTǫ F) 2)⇒ C v = 1 κTκN π 2 = π2 κTN ,2 ǫ F 2 T Fdove T F = ǫ Fκ è la temperatura di Fermi. Dunque il calore specifico a bassatemperatura di un gas di Fermi ideale è proporzionale a T .Gas di elettroni nei metalliGli elettroni della banda di conduzione dei metalli si comportano in molti rispetticome un gas di Fermi ideale. In realtà gli elettroni, essendo elettricamente carichi,interagiscono tra di loro e col reticolo cristallino di ioni positivi che li ospita.Tuttavia l’effetto complessivo di queste interazioni ha come effetto di cambiarela massa vera m e degli elettroni in una massa effettiva m < m e che dipendedalla natura del metallo. Tenuto conto di questa correzione, il gas di elettroni diconduzione in un metallo si comporta come un gas di Fermi ideale. Nei metalliT F ∼ 10 4 ÷10 5 o K, percio’ il gas elettronico è un gas quasi degenere: si comportacome un gas di Fermi a bassa temperatura. Utilizzando la relazione tra N e ǫ F neigas totalmente degeneri, avevamo trovato T F ≡ ǫ Fκ= ( 3N h2)2/3 (g = 2). Per8πV 2mκun reticolo cubico si ha N = nane dove nV a 3 a = numero di atomi per cella elementare,n e = numero di elettroni di conduzione per atomo, a = passo reticolare. In particolare,nel sodio cristallino si ha n a = 2, n e = 1, a = 4.29Å, da cui si ricava(T F ) Na ≃ 3.64 10 4 o K.Questa proprietà dei metalli risolve un apparente paradosso per il calore specifico:per il teorema di equipartizione dell’energia ci si aspetterebbe un contributopari a 1 κT per ogni grado di libertà reticolare e per i gradi di libertà dei fermioni di2conduzione. Viceversa sperimentalmente solo il reticolo cristallino dà un contributoapprezzabile ad alta temperatura, e cio’ è dovuto al fatto che il gas elettronicoè quasi degenere e contribuisce a C V con il termine π22 κ T T cN che è piccolo rispettoa 3κN (che è il contributo del reticolo ad alta temperatura). A temperatura piu’bassa della temperatura Θ di Debye si haC V = γT + δT 3 .In particolare, a temperatura bassissima, solo il contributo degli elettroni sopravvive.