Appunti di Meccanica Statistica - INFN

2.6. L’”ENSEMBLE” GRAN CANONICO 59percio’ ∑ ∞1(−1) n+1= 3 π 2− 1 π 2= π2. In conclusionen 2 4 6 4 6 12(log z)rf r (z) =[1 +Γ(r + 1)r(r − 1)π26(log z) 2 + O(1/(logz) 4 )].Il metodo generale che si usa nell’ensemble gran canonico è sempre in duepassi:1. Dalla relazione N V = g V= gλ 3 F Γ(5 2 ) λ 3 f32(z) si ricava (in linea di principio) lafugacità z in funzione di N che è costante per ogni valore di T , e quindi sipuò utilizzare la sua espressione (2.6.5) in termini dell’energia di Fermi ǫ F2. Si inserisce il valore della fugacità nell’espressione dell’energia interna ( odelle altre grandezze termodinamiche).Ricaviamo allora, a bassa temperatura (z ≫ 1), in approssimazione zero (cioètenendo un solo termine in f3 )2NVλ 3g Γ(5 2 ) ≃ (log z)3 2 ⇒ log z = λ2( NV g3 √ ) 23π ≡ βǫF ,4dove nell’ultima uguaglianza si è usata la (2.6.5). Poichè z = e µβ , si ha µ ≡κT log z ≃ ǫ F .L’approssimazione successiva (cioè due termini nello sviluppo di f r (z)) dà(ǫ F /κT = Γ( 5 ) 2)3= log z(1 +2 2(z)π2 1)f3 12 (log z) 2( )⇒ log z = βǫ F 1 − π2 (κT) 2, (2.6.6)12da cui, per inciso, tenuto conto che in generale si ha log z = βµ, si può ricavare laprima correzione in T del potenziale chimico:Si haǫ 2 Fµ = ǫ F − π2 (κT) 2+ O(T 4 ) . (2.6.7)12 ǫ FEN = 3 2 κT (z) f52(z) = 3 (5 κT log z 1 + π22f32)1(log z) + 2 O(1/(logz)4 ).