Appunti di Meccanica Statistica - INFN

58 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBS1Poichè per ξ molto grandi è una funzione a scalino, conviene riscriveree x−ξ +1l’espressione precedente nella forma seguenteΓ(r)f r (e ξ ) = ξrr − ∫ ξdove si è usata l’ovvia identitàox r−1 ∫dx ∞e ξ−x + 1 +1e x−ξ + 1 = 1 − 1e ξ−x + 1 .Poniamo ora η 1 = ξ − x nel I integrale e η 2 = x − ξ nel II⇒ Γ(r)f r (e ξ ) = ξrr + ∫ oξ(ξ − η 1 ) r−1 dη 1e η 1 + 1+ξ∫ ∞ox r−1 dxe x−ξ + 1(ξ + η 2 ) r−1 dη 2e η 2 + 1.Poichè ξ ≫ 1, possiamo sostituire l’estremo inferiore del I integrale con ∞ conuna approssimazione dell’ordine di O(e −ξ )⇒ Γ(r)f r (e ξ ) = ξrr + ∫ ∞Poichè (ξ + η) α = ∑ no(αn)ξ α−n η n[(ξ + η) r−1 − (ξ − η) r−1 ]dηe η + 1+ O(e −ξ )⇒ Γ(r)f r (e ξ ) = ξrr[ ∫2(r − 1)r ∞ηdη1 +ξ 2 o e η + 1 + O( 1 ]ξ 4)Calcoliamoci ora l’integrale, sviluppando il denominatore come somma di unaserie geometrica.∫ ∞oηe −η dη1 + e = ∑ ∞ ∫ ∞(−1) n+1 ηe −nη dη =−η1o∞∑ (−1) n+1∫ ∞n 21oxdxe −x ==∞∑1(−1) n+1n 2 =Utilizzando il noto risultato ∑ ∞1π 26 = ∞∑1∞∑11= π2n 2 61n = ∑ 12 (2m) + ∑ ∞ 2m=11(2m − 1) − ∑ ∞12 (2m) . 2, si ha1(2m − 1) = 1 π 2 ∞ 2 4 6 + ∑m=111(2m − 1) 2 ,