Appunti di Meccanica Statistica - INFN

2.6. L’”ENSEMBLE” GRAN CANONICO 57A bassa temperatura il comportamento è molto diverso: Per T → 0 (cioèλ 3 ρ → ∞), il gas viene detto completamente degenere ed ha un comportamentocaratteristico:{11 per ǫ < µ o〈n ǫ 〉 =e ǫ−µκT+ 1 → limT→0=0 per ǫ > µ odove µ o è il potenziale chimico a temperatura 0. Dunque 〈n ǫ 〉 diventa una funzionea scalino: tutti i livelli sotto µ o sono occupati (e costituiscono il cosiddettomare di Fermi), tutti quelli al di sopra sono vuoti. µ o vien detta energia di Fermi ǫ Fed è una caratteristica di ogni gas fermionico. Indicando con a(ǫ)dǫ la molteplicitàdegli stati di energia compresa tra ǫ e ǫ + dǫ, si haN =∫ ǫFoa(ǫ)dǫNel nostro caso a(ǫ)dǫ = gV 4πp2 dph 3⇒ N = g 4πV V3h 3 p3 F = gλ 3 F Γ(5) ,2(ǫ F = p2 F2m , λ F =h√ 2πmǫF) (2.6.5)⃗p F = momento di Fermi. L’insieme di tutti i vettori ⃗p F dello spazio degli impulsitali che ǫ F = p2 Fdefiniscono la superficie di Fermi. L’energia dello stato2mfondamentale a T = 0 è dunqueE o =∫ ǫFoǫ a(ǫ)dǫ = g 2πV5mh 3p5 F⇒ E oN = 3 5 ǫ F ∝ ρ 2 3p o = 2 E o3 V = g4π15mh 3p5 F ∝ ρ 5 3Lo studio del gas di Fermi ideale per T ≥ 0 (gas quasi degenere) è piu’ delicato,perchè richiede la conoscenza di f r (z) per z grande. Conviene porre z = e ξ esviluppare asintoticamente in potenze di 1/ξ.Γ(r)f r (e ξ ) =∫ ∞ox r−1 ∫dx ξe x−ξ + 1 =ox r−1 ∫dx ∞e x−ξ + 1 +ξx r−1 dxe x−ξ + 1