Appunti di Meccanica Statistica - INFN

56 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBS= 2 ∫2πV∞3 h g(2m x 3 2dxze −x3 β )3 2o 1 + ze . −xUtilizzando nuovamente la cosiddetta lunghezza d’onda termicaλ =h√2mκTπsi halog Q = g λ 3V f5 2(z) (2.6.3)dove si è postof r (z) = 1 ∫ ∞x r−1 dxze −x. (2.6.4)Γ(r) o 1 + ze −xUn metodo molto semplice per ricavare la grand partition function per un gasideale di fermioni (che indichiamo provvisoriamente con Ω F ) da quella di un gasbosonico con lo stesso spettro energetico (Ω B ) è basata sulla relazione (2.6.2),da cui si possono ricavare direttamente le espressioni per N, per E e per p dalleanaloghe bosoniche senza dover fare nessun calcolo esplicito. In particolare si haf r (z) = −ζ r (−z) =∞∑n=1(−1) n+1znn rChe è lo stesso risultato che si ottiene sviluppando in serie il denominatoredella (2.6.4). In particolare si haPercio’ si haf r−1 (z) = z ddz f r(z)pκT = g (z)λ 3f5 2ρ = N V = g (z), E = 3 gλ 3f3 2 2 λ 3V κTf5 2(z) = 3 2 κTN f5 (z)2(z)Da cui si ottiene in particolare, pV = 2 E come nel caso bosonico. Anche il limite3di gas rarefatto ad alta temperatura (limite classico) riproduce il risultato classico;infatti per λ 3 ρ ≪ 1 ⇒ f32(z) ≃ f r (z) ≃ z, pV = nRT, ⇒ E = 3 κTN, come2vuole il teorema di equipartizione.In conclusione, il gas ideale di Fermi ad alta temperatura non è distinguibiledagli altri gas ideali.f32