Appunti di Meccanica Statistica - INFN

2.6. L’”ENSEMBLE” GRAN CANONICO 552.6.2 Gas di Fermi idealeLe particelle di spin semi-intero (come ad es. l’elettrone o l’He 3 ) soddisfano allastatistica di Fermi-Dirac, che implica il principio di esclusione di Pauli: non cipuo’ essere piu’ di una particella in un dato stato. Questo rende la proprietà diun gas di fermioni molto diversa da quella che abbiamo visto nel caso del gas dibosoni (§2.6.1).Studiamo il caso di un gas di fermioni ideale, formato cioè da particelle nonintegranti. Nella grand-partition function ogni livello energetico ǫ contribuiscecon ze −βǫ se il livello è occupato o con 1 se il livello è vuoto, percio’Q F = ∏ a(1 + ze −βǫa )(da confrontare con l’analoga formula del gas di Bose Q B )⇒ pVκT = log Q F = ∑ alog(1 + ze −βǫa ).Si può subito osservare che la ricetta per passare da un gas di bosoni a uno difermioni con lo stesso spettro di livelli energetici è molto semplice:da cui si ricavalog Q F (z) = − log Q B (−z) . (2.6.2)N = z δδz log Q F = ∑ aze −βǫaze −βǫa + 1 ,E = z −δδβ log Q F = ∑ aǫ a ze −βǫaze −βǫa+1.Supponendo che i fermioni siano delle partcelle di massa m dotate solo di energiacinetica e sostituendo al solito la somma ∑ acon un integrale sugli impulsi si halog Q = 4πV ∫ ∞h g 3op 2 p2−βdp log(1 + ze 2m )dove g è la molteplicità dovuta allo spin (g =2 per spin 1 ). Ponendo al solito2βp 2= x 2m⇒ log Q = 2πV g ( 2m ∫ ∞√h 3 β )3 2 xdx log(1 + ze −x ) =o