Appunti di Meccanica Statistica - INFN

54 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBSOgniqualvolta qualche grandezza termodinamica ha una singolarità per undato valore di T si dice che il sistema subisce in quel punto una transizione difase. Dunque la condensazione di Bose- Einstein è una transizione di fase che simanifesta in un gas di Bose ideale a bassa temperatura. 12( Vediamo ora altre proprietà termodinamiche del sistema a T < T c . Da C V =∂E)∂TVPoichè inoltreC V = T( ) ∂S, ⇒∂TV⇒ C V = 5 E2 T( ) ∂S∂TV= C VT = 5 E2T 2⇒ S =∫ To5 E 152 T 2dT=4( ) 3 ∫ 2mπ2 T √Vh 2 ζ5 (1)κ 5 2 TdT =2o= 154( )32mπ2Vh 2 ζ5 (1)κ 5 222Quindi l’energia libera F = E − TS è data daF = E − 5 3 E = −2 3 E3 T 3 52 =3e la pressione vale p = − ( )∂F= 2 E. Si ottiene, come c’era da aspettarsi, la∂V T 3 Vstessa relazione trovata per T > T c . Notiamo che ora si hap =ed è quindi indipendente da V. 13( )32mπ2h 2 ζ5 (1)(κT) 5 2212 Questa transizione fu prevista da Einstein già nel 1926, ma e stata osservata sperimentalmentesolo di recente (1995) in gas rarefatti ( in particolare Na a bassissima pressione per realizzare il lecondizioni di gas perfetto) a temperature dell’ordine di 10 −6 Kelvin.13 Il fatto che nella fase fredda T ≤ T c le espressioni (e la derivazione) delle principali grandezzetermodinamiche siano particolarmente semplici è dovuto all’eliminazione del vincolo sulla conservazionedel numero di molecole, per cui il sistema è di fatto descritto dal formalismo canonico,in quanto entrano in gioco solo le molecole negli stati eccitati: una variazione di T provoca unaconseguente variazione di N exc , mentre vale z = 1 in tutta la regione.ET