Appunti di Meccanica Statistica - INFN

52 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBSQuindi in questo limite si ottiene il risultato classico in accordo con il teoremadi equipartizione dell’energia. Al decrescere di T la fugacità cresce fino al valorez = 1. Oltre questo valore le formule precedenti perdono di significato. Il valoreminimo di N V β 3 2 compatibile con la formula precedente è( ()3NV β 3 2 2mπ2o =h 2 ζ3 ⇒2(1) 1 = β o = 2mπ ζ3 (1)2κT c h 2 ρ)23,dove ρ = N V . Il fatto che per T < T c le funzioni tremodinamiche ρ = N/V e Eche abbiamo ricavato perdano di significato segnala che nella nostra derivazioneabbiamo usato qualche assunzione che non è in realtà valida a bassa temperatura.L’unica approssimazione che è stata fatta è stata la solita sostituzione della sommasu tutte le configurazioni con un integrale. Evidentemente per T < T c questasostituzione non è piu’ valida. Riscriviamo dunque N come una somma:N = ∑ i〈n i 〉 , 〈n i 〉 = ze−βǫ i1 − ze −βǫ i=1z −1 e βǫ i − 1, z = e βµ .〈n i 〉 > 0 ⇒ ǫ i − µ > 0 ; ǫ i < ǫ i+1 ⇒ 〈n o 〉 > 〈n 1 〉 > . . ..Se ∑ i non si puo’ rimpiazzare per T < T c con un integrale, vuol dire che 〈n o 〉non è una quantità trascurabile, percio’ǫ o − µ è molto piccolo ⇒ 〈n i 〉 per i > 0 èesponezialmente depresso:〈n i 〉 ≪ 〈n o 〉Non è restrittivo supporre ǫ o = 0 (equivale a una ridefinizione di µ)1⇒ 〈n o 〉 =z −1 − 1 = 1e −βµ − 1(⇒ µ = −κT log 1 + 1 )≃ − κT〈n o 〉 〈n o 〉 ,quindi per T ≪ T c si ha µ ∼ 0Se si esclude il livello fondamentale, tutti gli altri livelli sono scarsamenteoccupati e quindi la sommatoria ∑ ipuo’ essere sostituita da un integrale. Quindiper T ≪ T c si puo’ calcolare N − 〈n o 〉 esattamente come si era fatto per N nellaregione T > T c , ponendo pero’ questa volta z ∼ 1 (ossia µ ∼ 0)⇒ 〈N exc 〉 ≡ N − 〈n o 〉 = V( ) 32mπ2βh 2 ζ3 (1) .2