Appunti di Meccanica Statistica - INFN

2.6. L’”ENSEMBLE” GRAN CANONICO 51Utilizzando le due espressioni trovate per E e per N possiamo ancora scrivere:E = 3 2 Nζ5 (z) .2(z)/ζ32La ”grand partition function” si puo’ porre nella forma:log Q(z, β, V ) = ∑ i1log = − ∑ 1 − ze −βǫ iiPassando dalla somma all’integrale ∑ i → ∫ Vh 3 d 3 p si halog Q = − V ∫ ∞h 34π p 2 dplog= − V h 3 4π3∫ ∞oo(1 − ze −βp2 /2m( )d p 3dp dp log p2−β1 − ze 2mlog ( 1 − ze −βǫ i ))==Poichè log Q = pVκT= V h 3 4π3∫ ∞o2β p 4 p2−βdpze 2m2m= 2 1 − ze − p22m β 3 Eβ .⇒ pV = 2 3 E .Essendo questa una relazione esatta, vale anche nel limite classico h → 0. Questolo si puo’ verificare direttamente applicando il teorema di equipartizione dell’ energia,che dà E = 3 NκT . Inserendo questo valore di E nella formula precedente2si riottiene l’equazione di stato dei gas perfetti.Osservazione: i valori permessi per la fugacità z sono compresi nell’ intervallo0 ≤ z ≤ 1. Poichè z = e βµ ⇒ µ ≤ 0, cioè il potenziale chimico è semprenegativo.Vediamo ora qualche conseguenza delle due formule messe in cornice. Per ungas rarefatto ad alta temperatura e piu’ precisamente per N β 3 2 ≪ 1 si ha N β 3 2 =V V( 2mπh 2 ) 3ζ322ζ32(z) ∼ z , ζ 52(z) ≪ 1 . Poichè 2mπ è una costante, ⇒ ζh 2 3(z) ≪ 1 ⇒ z ≪ 1 e quindi2(z) ∼ z, per cui ζ 5(z)/ζ3(z) ∼ 1 e quindi2 2(n = numero di moli).⇒ E = 3 2 NκT = 3 2 nRT