Appunti di Meccanica Statistica - INFN

50 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBSed inoltre vale la nota relazione funzionale xΓ(x) = Γ(x + 1) da cui si ottieneΓ( 5 2 ) = 3 2 Γ(3 2 ) , Γ(3 2 ) = 1 2 Γ(1 2 ) , Γ(1 2 ) = √ π( 3⇒ Γ =2)√ ( 5π/2 , Γ =2)4√ 3 π .Poniamoζ5(z) =2∞∑z nn=1n 5 2Questa è una funzione non negativa crescente nell’intervallo 0 ≤ z ≤ 1, inoltre sisa che ζ 5(1) ≃ 1.341 ed è inoltre facile verificare che la serie diverge per z > 12(utilizzando ad esempio il criterio del rapporto). Si ha in conclusione:.E = 3 2Vλ 3 ζ52(z)κTdove si è introdotta la lunghezza d’onda termica λ, definita dalla relazioneλ =h√2πmκTsimilmente si ha:= 4πVh 3( 2mβ)32 ∫ ∞oN = 4πVh 3∫ ∞y 2 dyze−y2 = 2πV1 − ze −y2 h 3op 2 dp ze−βp2 /2m1 − ze −βp2 /2m( 2mβ)32∞∑z nn=1n 3 2∫ ∞o√ xe −x dx =quindi= 2πVh 3( 2mβ) 32Γ(3/2)ζ 3 (z) ,2N = V λ 3 ζ3(z)2In particolare si ha ζ 3(1) ≃ 2.612 .2