Appunti di Meccanica Statistica - INFN

48 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBSesatto (cioè il differenziale di una funzione), si vede che α è legata a µ da α β = −µe inoltred(q + Nα + Eβ) = βδQ = dS κ⇒S κ= q − µβN − Eβ⇒ qκT = ST + µN − E .D’altra parte, avevamo visto che sfruttando appieno la proprietà di estensivitàdell’energia interna si poteva ottenerne una forma finita in (2.3.3), che qui trascriviamo:E = ST − PV + µN. Inserendola nell’eq. precedente si ha infinekTq = pV , cioèlog Q(z, β, V ) = pV(2.6.1)κTche è il legame cercato tra la ”grand partition funtion” e le grandezze termodinamiche.Il formalismo dell’ ”ensemble” gran canonico è particolarmente adattoper descrivere un gas di Bose o di Fermi ideale, cioè un gas formato da N particellenon integranti che soddisfano alla statistica di Bose-Einstein (la cui lorofunzione d’onda è simmetrica rispetto a ogni permutazione delle coordinate chedescrivono queste particelle), o alla statistica di Fermi-Dirac ( in cui la f. d’ondaè antisimmetrica rispetto a ogni scambio).2.6.1 Gas di Bose idealeSupponiamo di avere un sistema con N componenti microscopiche disaccoppiate,distribuite su un insieme di livelli energetici, ǫ a . I valori E i possibili dell’ energiatotale del sistema sono dati daE i = ∑ an a ǫ acon il vincolo N = ∑ a n a per cuiZ N (β, V ) = ∑ ie −βE i= ∑ n a′ e −β P naa ǫaβ( ∑ ′= somma vincolata). Se non ci fosse il vincolo sarebbe facile calcolareesplicitamente la funzione di partizione Z N dell’insieme canonico, perchè ci siricondurrebbe di nuovo a un insieme di sistemi disaccoppiati come nel caso degli