Appunti di Meccanica Statistica - INFN

2.6. L’”ENSEMBLE” GRAN CANONICO 47legato alla conservazione del numero totale dei componenti. Data la simmetrianelle formule tra i livelli energetici ǫ r e il numero di componenti N s si avrà:n rsN ≡ P rs =e−αNr−βǫs∑ij e−αN i−βǫ j.Introducendo la fugacità z = e −α , il denominatore si puo’ scrivere nella formaQ(z, β, V ) =∞∑z Nr Z Nr (β, V )N r=0dove Z Nr (p, V ) è funzione di partizione dell’insieme canonico (dove il numerodi componenti microscopici N r è costante). La nuova funzione di partizioneQ(z, β, V ) è nota in letteratura come ”grand partition function”.Poniamoq(z, β, V ) = log Q(z, β, V ) ;segueE = − ∂ ∂β q , N = − ∂ ∂α q = z ∂ ∂z q .Vediamo ora di ricavare un’interpretazione termodinamica di q utilizzando il metodogià usato per log Z:dq = ∂q ∂qdα +∂α ∂β dβ + ∑ r⇒ d(q + Nα + Eβ) = β∂qdǫ r = −Ndα − Edβ − β ∑ ∂ǫ rr( )αβ dN + dE − 〈dǫ〉 .p r dǫ rAvevamo già visto che −〈dǫ〉 è interpretabile come il lavoro fornito dal sistema:δL = −〈dǫ〉. D’altra parte l’incremento totale di energia interna dE, nel caso diun sistema che puo’ scambiare anche componenti microscopici con i corpi con cuiè a contatto è, come si è già visto in (2.3.2),dE = δQ − δL + µdN = TdS − pdV + µdNdove µ è il potenziale chimico. 11 Confrontando dE con il membro di destra did(q + Nα + Eβ), tenendo conto che β( α dN + dE − dL) è una differenzialeβ11 Ricordiamo che due sistemi 1 e 2 a contatto che si scambino energia, volume e componenti,all’ equilibrio soddisfano le tre condizioni T 1 = T 2 , p 1 = p 2 e µ 1 = µ 2 .