Appunti di Meccanica Statistica - INFN

46 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBSPoichè F ha un minimo in condizioni di equilibrio, si haδF = 1 (( ) ( )∂2 δV 122 F (1) ∂ 2 F (2)+∂V 21T∂V 22T)> 0Poich‘e la suddivisione tra sistema 1 e sistema 2 è arbitraria entrambi gli addendidevono essere separatamente positivi( ) ( )∂ 2 F (i) ∂p→ − > 0 . (2.5.3)∂Vi2T∂VTIn conclusione, in ogni espansione isoterma di un qualunque sistema in equilibriola pressione diminuisce.2.6 L’”ensemble” gran canonicoI sistemi macroscopici che vogliamo studiare sono composti da un grande numeroN di costituenti microscopici. Di solito il numero N non èdirettamente misurabilee d’altra parte a noi occorre sapere solo il valore medio 〈N〉. Conviene immaginareche il sistema in esame, che è in equilibrio con un termostato, possa scambiarecon esso non solo energia, ma anche particelle microscopiche. Possiamo poipensare di sostituire il termostato con N − 1 copie mentali del sistema esistente,cosi’ come avevamo fatto per l’ ”ensemble” canonico. Indichiamo con n r,s il numerodi sistemi che ha energia ǫ s e possiede N r componenti microscopiche. (N r èun qualsiasi intero e ǫ s dipende anche dal numero di componenti microscopiche:ǫ s = ǫ s (N r ) Si ha allora:∑n r,s = Nr,s∑n r,s N r = NNr,s∑n r,s ǫ s (N r ) = NEr,sdove N è il numero medio (≡ 〈N〉) di componenti per sistema e E è l’energiainterna. Un ”ensemble” siffatto è detto ”ensemble” gran canonico. Possiamo,in analogia a quanto abbiamo fatto per l’ ”ensemble” canonico, cercare la distribuzionepiu’ probabile. L’”ensemble” gran canonico possiede un vincolo in piu’rispetto a quello canonico e percio’ interverrà un altro moltiplicatore di Lagrange,