Appunti di Meccanica Statistica - INFN

2.4. L’ ”ENSEMBLE” CANONICO 432.4.9 Calore specifico dei solidiCon poche modificazioni l’analisi precedente puo’ essere applicata a un sistemacompletamente diverso: un solido cristallino.Le vibrazioni termiche di un cristallo possono essere descritte da un sistema dimodi normali di vibrazione (onde sonore stazionarie) corrispondenti a oscillatoriarmonici di pulsazione ω = ω(k) dove k = 2π/λ è il numero d’onda. Differenzecon il gas di fotoni:• La legge di dispersione ω = ω(k) è diversa da quella del fotone (ω = ck) edipende dalle caratteristiche fisiche del cristallo.Per λ sufficientemente grandi ω(k) assume la forma lineare ω = ck, doveora c è la velocità del suono nel cristallo. Queste eccitazioni si chiamanofononi.• Gli stati di polarizzazione sono 3 (c’è anche la polarizzazione longitudinale)e le proprietà di propagazione son diverse per diverse polarizzazioni.• k ha un limite superiore k max dovuto al fatto che non possono propagarsivibrazioni con lunghezze d’onda piu’ piccole di due passi reticolari a: λ ≥2aApprossimazione di Debye: ω(k) = ck , 0 ≤ k ≤ k max⇒ E = 3 V 4πc 3∫ νmax0E ν ν 2 dν (ν max = k max c/2π) .Se il cristallo contiene N nodi per unità di volume, ν max si puo’ approssimativamentevalutare eguagliando i gradi di libertà degli oscillatori armonici con quellidei nodi del cristallo:3 V ∫ νmaxc 34π ν 2 dν = 4π V c 3ν3 max = 3V N .0Si ha, ripetendo gli stessi calcoli del caso del gas di fotoni,E = 12πV κ4 T 4(hc) 3 ∫ xmax0x 3 e −x1 − e −xdx , x max = Θ T , Θ = hν maxκΘ = temperatura di Debye ( dipende dalle caratteristiche fisiche del cristallo).