Appunti di Meccanica Statistica - INFN

42 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBSIn conclusione si ottiene la legge di Stefan-Boltzmann,EV = 8π5 κ 415h 3 c 3T4 = π2 κ 4(15c) 3T4 = σT 4dove σ è la costante di Stefan. Il calore specifico a volume costante è quindi( ) ∂EC V = = 4σT 3 .∂TL’energia emessa dal copo nero per unità di frequenza è quindi data dalla distribuzionedi Planck:E ν f(ν) = 8πV hν 3c 3 e βhν − 1che ha un massimo per hν max /κT ≃ 2.822, quindi la radiazione emessa dal corponero ha un massimo per una frequenza che cresce con la temperatura: questarelazione permette di determinare la temperatura del corpo nero a partire dallafrequenza di massima intensità.Per h → 0 ( o equivalentemente T → ∞) si ottiene il limite classico, notocome distribuzione di Rayleigh-Jeans:E ν f(ν) → 8πV ν 2 κT .Calcolo dell’energia libera di Helmholtz:F = 8πV ∫ ∞ν 2 log ( 1 − e −βhν) dν = 8πV ∫ ∞βc 3 c 3 h 3 κ4 T 4 x 2 log(1 − e −x )dx .Integrando per parti si hada cui si ricava0S = −− 1 3( ) ∂F∂TVV∫8πV∞h 3 c 3 κ4 T 4 x 3 e −x1 − e −xdx = −1 3 E ,= 4 E3 T ;0( ) ∂Fp = − ∂VT0= σT 43 = 1 E3 V .L’ultima è l’equazione di stato di un gas di fotoni. Notare la differenza conl’equazione pV = 2 E valida per gas perfetti non relativistici, che si puo’ ricavare3dal teorema di equipartizione dell’energia.