Appunti di Meccanica Statistica - INFN

2.4. L’ ”ENSEMBLE” CANONICO 41Fissata una terna n x , n y , n z di numeri interi relativi non tutti nulli è individuatauna coppia di modi normali di vibrazione della cavità, che differiscono tra lorosolo per il piano di polarizzazione. La pulsazione ω di questi modi è data da√ω ≡ hν = c p 2 x + p2 y + p2 z ,dove ν è la frequenza e c la velocità della luce. L’energia interna è dunque∑E = 2n x,n y,n zE νNel limite termodinamico possiamo rimpiazzare la somma con un integrale. Ilnumero dei modi normali di vibrazione compresi tra n x e n x +dn x , n y e n y +dn y ,n z e n z + dn z è 2dn x dn y dn z = 2 V h 3 d p x d p y d p z , dove il fattore 2 tiene contoappunto degli stati di polarizzazione e V = L x L y L z . Quindi si ha, utilizzando lanota relazione p = hν/c,E = 2 V h 3 ∫ ∫ ∫Ponendo x = βhν si haE ν d 3 p = 2 V ∫ ∞h 34π E ν p 2 dp = 8π V ∫ ∞hν 3 e −βhνdνc 3 1 − e−βhν E = 8π V κ4 T 4c 3 h 30∫ ∞0x 3 e −x1 − e −xdx.Calcoliamoci ora l’integrale scrivendo innanzitutto il denominatore come sommadi una serie geometrica:∫ ∞0x 3 e −x1 − e = ∑ ∞ −xn=1=∫ ∞0∫ ∞0x 3 e −nx dx =e −y y 3 dy∞∑1∞∑n=1∫ ∞01n 4 = π415dove si è posto nx = y e si sono utilizzate le note relazioniΓ(z) =∫ ∞dove Γ è la funzione Gamma di Eulero.00( yn)e −y d y n =e−yy zdy∞y , Γ(n + 1) = n! , ∑ 1n = π44 90 ,1