Appunti di Meccanica Statistica - INFN

40 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBSQuindi,Z = ∑ ne −βǫn = e −βω/2 ∑ ne −βωn = e−βω/21 − e −βωF = −κT log Z = ω/2 + 1 β log ( 1 − e −βω)E = − ∂ ∂βωe−βω hνe−βhνlog Z = ω/2 + = hν/2 +1 − eβω 1 − e . −βhνPer un sistema di k oscillatori armonici disaccoppiati di pulsazione ω 1 , ω 2 . . .ω ksi hak∑k∏k∑F tot = F i , Z tot = Z i , E tot =i=1i=1i=1F i = ω i /2 + 1 β log ( 1 − e βω i ) , ecc.E i2.4.8 Corpo neroUna cavità a pareti riflettenti in equilibrio termico alla temperatura T puo’ esseretrattata come un sistema di oscillatori armonici disaccoppiati. Ogni oscillatorecorrisponde a un modo normale di vibrazione (o onda stazionaria) del campo elettromagnetico.Se f(ν)dν è il numero di oscillatori di frequenza compresa tra ν e ν + dν,l’energia interna del corpo nero saràE =∫ ∞0E ν f(ν)dν, E ν = hνe−βhν1 − e −βhν .I modi normali d’oscillazione e la densità f(ν) dipendono dalla forma della cavità,ma l’energia interna, nel limite termodinamico, non dipende dalla forma ma solodal volume. Perciò, per calcolare facilmente f(ν)dν consideriamo una cavità aforma di parallelepipedo di spigoli L x , L y , L z . Per comodita’ sceglieremo condizionial contorno periodiche, dato che nel limite termodinamico le proprietà chestudiamo non dipendono da queste condizioni. La radiazione elettromagnetica inequilibrio nella cavità si può descrivere anche come un gas di fotoni, il cui impulso⃗p è, per condizioni al contorno periodiche,p x = 2πL xn x , p y = 2πL yn y , p z = 2πL zn z , n i = 0, ∓1, ∓2, . . .