Appunti di Meccanica Statistica - INFN

38 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBS2.4.6 Teorema di equipartizione dell’energia e teorema del VirialeVediamo ora qualche conseguenza importante del formalismo dell’”ensemble”canonico applicabile alla formulazione classica. In questo caso la somma sui livellienergetici ∑ iè in realtà un integrale nello spazio delle fasie−βǫi∫Z(β, V ) = e −βH(p,q) dω ,dove dω = dfN p d fN q, N denota il numero di sistemi microscopici (molecole) cheh 3Ncompongono il sistema macroscopico e f è il numero di gradi di libertà di ognisistema microscopico. Calcoliamo il valore medio 〈p ˙q〉, dove q è una qualsiasicoordinata lagrangiana e p il suo momento coniugato. Poichè ˙q = ∂H〈p ˙q〉 =∫p∂H∂p e−Hβ dω∫e−Hβdω= − 1 β∫p ∂ ∂p∂p ⇒(e−Hβ ) dω/Z = 1 β ≡ κT .Nell’ultimo passaggio si è fatta un’integrazione per parti. dove il primo termine èstato omesso, perchè nei casi fisicamente interessanti e −βH (p,q) è zero agli estremidello spazio delle fasi. Analogamente si ha∫〈qṗ〉 = −q ∂H∂q e−βH dω/Z = 1 β∫q ∂ ∂q(e−Hβ ) dω/Z = − 1 βIn meccanica la quantità ∑ i q iṗ (dove la somma è estesa a tutti i gradi di libertài = 1, 2, . . ., fN) è detta viriale V del sistema. Quindi〈V〉 ≡ 〈 ∑ iq i p i 〉 = − fN βche costituisce il Teorema del Viriale.Ora in molti sistemi fisicamente interessanti H è una funzione quadratica di p ie/o di q i . Per esempio l’Hamiltoniana di un sistema di particelle libere èH =N∑j=12 N⃗p j2m = ∑j=13∑i=1p 2 ji2m⇒ ∑ j⃗p j∂H∂⃗p j= 2H