Appunti di Meccanica Statistica - INFN

34 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBSPoichè gli incrementi dn i sono linearmente indipendenti ⇒log n i = −α − βǫ i , ⇒ ¯n i = e −α e −βǫ i.α e β sono ora fissati imponendo i due vincoli:N = ∑ i¯n i = e −α e −βǫ i,che determina α:E = e −α ∑ i⇒ e α =che determina in linea di principio β.∑i e−βǫ iNǫ i e −βǫ i= N∑∑ i ǫ ie −βǫ ii e−βǫ idef. Z ≡ ∑ ie −βǫ i= funzione di partizione⇒ E ≡ E ∑N = i ǫ ie −βǫ iZ= − ∂ log Z∂βPoichè consideriamo N molto grande, possiamo identificare il valor medio 〈n i 〉con il valore più probabile ¯n i , per cui possiamo scrivereche coincide con la (2.4.1).p i = ¯n iN = e−βǫ iZ2.4.4 fluttuazione dei valori medi= −1 β∂ log Z∂ǫ i,Il metodo che abbiamo usato per determinare la probabilità di occupazione p iè noto come ”metodo della distribuzione piu’ probabile”. Per rendere completamentesoddisfacente questo metodo bisogna dimostrare che almeno nel limiteN → ∞ le deviazioni dalla distribuzione piu’ probabile possono essere rigorosamentetrascurate. A tal fine conviene studiare il comportamento delle fluttuazionirispetto al valore medio al crescere di N. Se si riesce a dimostrare che le fluttuazioni,ossia la dispersione delle configurazioni, tende a zero per N → ∞, allorauna sola configurazione sopravvive in questo limite e quindi la distribuzione;