Appunti di Meccanica Statistica - INFN

2.4. L’ ”ENSEMBLE” CANONICO 33dove E è la somma delle energie di tutti i sistemi e quindi E = E è l’energia mediaper sistema, che possiamo identificare con l’energia interna (notare che i livelliNenergetici ǫ i non sono i livelli delle componenti microscopiche del sistema, ma lepossibili energie del sistema macroscopico). Ci sono molte diverse maniere di distribuiregli N sistemi nella configurazione (n 1 , n 2 , ...n i ...), infatti, permutando traloro gli N sistemi e tenendo conto che permutazioni che scambiano tra loro sisteminello stesso livello non sono distinguibili ⇒ la molteplicità P(n 1 , n 2 ...n i ...)della configurazione è data daP(n 1 , n 2 , ...n i ...) = N!Π i n i ! .La probabilità di occupazione p i del livello ǫ i è data dap i = 〈 n iN 〉 =∑{n 1 ,n 2 ,... }n i P(n 1 , n 2 , . . .)∑{n i } P(n 1, n 2 . . .)dove i set {n 1 , n 2 ...} soddisfano i due vincoli precedenti. Il calcolo esattodell’eq. precedente è complicato e si puo’ valutare esattamente solo per N grande.Ma per N grande la molteplicità P(n 1 , ...) ha un picco molto pronunciato per unaparticolare configurazione (¯n 1 , ¯n 2 , . . .) (che è quindi la config. piu’ probabile) edil picco è tanto più stretto quanto più N è grande; quindi si puo’ rimpiazzare ilvalor medio 〈 n i〉 con il valore piu’ probabile ¯n i.N NIl calcolo di ¯n i è molto piu’ facile: Poichè il logaritmo è una funzione monotonacrescente del suo argomento, il max di P coincide col max di log P . NoiNcerchiamo il max condizionato dai vincoli N = ∑ i n i e E = ∑ i ǫ in i . Per tenereconto di questi vincoli utilizzeremo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange: studiamola funzionef(n 1 , n 2 , . . .) = log P(n 1 , n 2 , . . .) − α ∑ in i − β ∑ in i ǫ idove α e β sono parametri liberi ( detti appunto moltiplicatori di Lagrange) cheservono a implementare i vincoli.Se N e n i sono grandi si puo’ usare la formula di Stirling per il fattoriale.Nel max di f(n 1 , n 2 ...) si ha df = O, cioèdf = − ∑ i(log n i + α + βǫ i )dn i .