Appunti di Meccanica Statistica - INFN

32 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBSUtilizzando la relazione tra log Z e F illustrata nel paragrafo precedente e la notarelazione F = E − TS si ha subitoS = −κ ∑ i p i log p i = −κ 〈log p〉Questa importantissima relazione, nota come formula di Gibbs per l’entropia, hail pregio di essere di grande generalità ed è applicabile a diversi rami della fisicae in particolare alla teoria dell’informazione.Notiamo intanto una semplice conseguenza: poichè 0 ≤ p i ≤ 1, ⇒ S ≥ 0.Nel caso in cui S = 0 tutti i p i o sono nulli o valgono 1. Poichè ∑ i p i = 1, si concludeche c’è un unico livello energetico occupato; questo livello corrisponderànaturalmente col livello fondamentale ǫ o , per cui possiamo scrivereS = 0 ⇒ p o = 1 , p i = 0 ∀i > 0 ,cioè per S = 0 tutti i sistemi dell’”ensemble” canonico corrispondono ad un unicomicrostato. Vedremo che questa situazione si verifica a T = 0.È da notare che la definizione di entropia nell’ensemble canonico concordacon quella fatta nell’”ensemble” microcanonico; infatti in questo ultimo caso seci sono Ω microstati tutti ugualmente probabili, la probabilità associata ad ognimicrostato è 1 Ω , quindi S = −κ ∑ i1Ω log 1 Ω2.4.3 moltiplicatori di Lagrange= κ log Ω , cvd.In questa trattazione abbiamo usato come punto di partenza le nostre conoscenzesull’approccio microcanonico per ricavare le proprietà fondamentali dell’ensemblecanonico. Si possono ottenere gli stessi risultati con un approccio indipendenteche va sotto il nome di metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Questo metodo habasi concettualmente più solide ed è generalizzabile ad ogni tipo di ensemble.Sia n i il numero di sistemi dell”ensemble” con energia ǫ i . Il set di numeri dioccupazione (n 1 , n 2 , ...n i ...) forma una possibile configurazione dell’ ”ensemble”ed è soggetto alle due condizioniN = ∑ in iE = ∑ iǫ i n i ,