Appunti di Meccanica Statistica - INFN

2.4. L’ ”ENSEMBLE” CANONICO 31che suggerisceDalla relazione termodinamicaS = κ log Z + E T .S = − F T + E T ,dove F è l’energia libera di Helmholz, si ha l’importante identificazioneF = −κT log Z , (2.4.3)che è la formula centrale dell’ ”ensemble” canonico.Si è già visto in precedenza che F è una funzione di T e V e quindi è taleanche Z: dunque Z è funzione delle variabili macroscopiche T e V .Dalla conoscenza di Z(T, V ) si ricavano tutte le proprietà macroscopiche. Infattida dF = −SdT − p dV si ricava( ) ( )∂F∂Fp = − e S = − .∂VT∂TVVediamo ora come esprimere le grandezze termodinamiche come valori medidi opportune osservabili sull’ ”ensemble” canonico. Abbiamo già visto che l’energiainterna è data daE = ∑ ǫ i e −βǫ i= ∑ p i ǫ i = 〈ǫ〉ZiiAnalogamente, dalla relazione δL = − ∑ i p idǫ i che abbiamo già usato in precedenza,si ricava (usando δL = p dV )p = − ∑ ip i∂ǫ i∂V= −〈∂ǫ∂V 〉 . (2.4.4)Nel paragrafo seguente applicheremo queste considerazioni per ottenere un’importanteformula relativa all’entropia.2.4.2 Formula di Gibbs per l’entropiaNell’ensemble canonico la probabilità di occupazione del livello i è data da p i =e −βǫ i. Prendendo il logaritmo di entambi i membri e calcolandone il valor medioZsi ottiene ∑p i log p i ≡ 〈log p〉 = −β ∑ p i ǫ i − log Z ∑ p i .iii