Appunti di Meccanica Statistica - INFN

30 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBSSe conosciamo la distribuzione di probabilità di un sistema possiamo definireil valore medio di ogni grandezza fisica A :〈A〉 = ∑ iA i p idove A i è il valore che assume la grandezza A nello stato i-esimo. In realtà perle grandezze termodinamiche non è necessario conoscere la distribuzione p i , inquanto tutti i valori medi si possono ottenere direttamente dalla conoscenza dellasola funzione di partizione, che gioca nel formalismo dell’ensemble canonico unruolo centrale, analogo all’entropia nell’approccio microcanonico.Come primo esempio, è immediato verificare che l’energia interna E è data da〈ǫ〉 =≡ ∑ i( ) ∂ log Zǫ i p i = E = −∂βV(2.4.2)2.4.1 Significato termodinamico di Z(β, V )Conviene per il momento pensare Z come funzione di β e dei livelli energetici ǫ i .Il suo differenziale è dunqued log Z = ∂ log Z∂βdβ + ∑ i∂ log Zdǫ i = −Edβ − β ∑ ∂ǫ iip i dǫ i⇒ d (log Z + βE) = β (dE − 〈dǫ〉)Interpretazione fisica di questa formula: supponiamo di applicare una trasformazioneal sistema ( e quindi alle N copie dell’ ”ensemble” canonico) per cuii livelli divengono ǫ i +dǫ i . Ogni sistema compie un lavoro −dǫ i e quindi il lavoromedio compiuto è δL = −〈dǫ〉. Ma se l’”ensemble” è in equilibrio, il primo principiodella termodinamica dice che dE + δL = δQ . L’equazione precedente diceche βδQ è un differenziale esatto (cioè il differenziale di una funzione), cioe β èun ”fattore integrante” di δQ, quindi, se non conoscessimo ancora il legame tra βe temperatura lo scopriremmo adesso: il secondo principio dice che dS = δQ è Tun differenziale esatto ( S è l’entropia del sistema). ⇒ β ∝ 1 . TL ’equazione precedente si puo’ scrivere allora nella formaκ d(log Z + E κT ) = dS