Appunti di Meccanica Statistica - INFN

2.4. L’ ”ENSEMBLE” CANONICO 292.4 L’ ”ensemble” canonicoConsideriamo un sistema macroscopico in equilibrio termico con un termostatodi capacità termica infinita. Poichè puo’ scambiare energia con il termostato, lasua energia non è univocamente determinata ma puo’ fluttuare. Supponiamo diconoscere lo spettro dei suoi possibili livelli energetici: ǫ 1 , ǫ 2 , ...ǫ i , ... (in generaleuno spettro di infiniti livelli) ci sarà una certa probabilità p i che il sistema sia nellivello energetico ǫ i . p i sarà una certa funzione della temperatura che vogliamodeterminare. A tal fine rimpiazziamo il sistema con il termostato con un sistemaequivalente, formato da un ”ensemble”, detto canonico, di N sistemi identici,formati dal sistema realmente esistente e da N −1 copie mentali e supponiamo chequesti sistemi siano in equilibrio termico tra di loro. In altri termini sostituiamo iltermostato con N − 1 sistemi identici in equilibrio termico col sistema in esame.Se N è molto grande queste copie mentali formano un perfetto termostato.Questo insieme di N sistemi forma a sua volta un sistema chiuso, cioè isolatoe di energia E fissata, pari alla somma delle energie dei sistemi costituenti, dunquepuo’ essere pensato come un microstato di un ensemble microcanonico. Sia n i ilnumero di sistemi dell”ensemble” con energia ǫ i . Il set di numeri di occupazione(n 1 , n 2 , ...n i ...) definisce un microstato dell ”ensemble” ed è soggetto alle duecondizioni N = ∑ i n i e E = ∑ i ǫ in i ,.Consideriamo ora un sistema in un definito stato i di energia ǫ i . In base alpostulato fondamentale dell’ensemble microcanonico il numero di stati accessibilial sistema più termostato (≡ N sistemi identici) è Ω(E − ǫ i ). Poiche’ tutti glistati dell’ensemble microcanonico sono ugualmente probabili, la probabilità p i diquesto stato è proporzionale a Ω(E − ǫ i ), cioèp i ∝ exp[log Ω(E − ǫ i )] ≃ exp(− ǫ iκT )dove si è sviluppato in serie di Taylor log Ω troncando al I ordine significativo,tenuto conto del fatto che ǫ i ≪ E e della definizione di temperatura. Poichè∑i p i = 1 possiamo normalizzare le probabilità scrivendo semplicementep i = e−βǫ iZ , β = 1κT , (2.4.1)dove Z(β, V ) = ∑ i e−βǫ iè detta funzione di di partizione canonica. Essadipende, oltre che da β, anche dal volume V e dal numero di componenti microscopicheN del sistema, in quanto i livelli energetici ǫ i dipendono ovviamente daV e da N.